Inbersong punsiyon

Ang inbersong punsiyon (Ingles, inverse function) ay ang punsiyong nagbabaliktad sa isang punsiyon. Kung ang input na ${\displaystyle x}$ sa punsiyong ${\displaystyle f}$ ay lumilikha ng output na ${\displaystyle y}$, kung gayon ang paglalagay ng ${\displaystyle y}$ sa inbersong punsiyong ${\displaystyle g}$ ay lilikha ng output na ${\displaystyle x}$, at bise bersa o

Ang punsiyong ${\displaystyle f}$ at ang inberso nitong ${\displaystyle f^{-1}}$. Dahil sa ang ${\displaystyle f}$ ay nagmamapa ng ${\displaystyle a}$ sa ${\displaystyle 3}$, ang inbersong punsiyon na ${\displaystyle f^{-1}}$ ay nagmamapa ng ${\displaystyle 3}$ pabalik sa ${\displaystyle a}$.

${\displaystyle f(x)=y}$ at ${\displaystyle g(y)=x}$

Sa tuwiran, ang ${\displaystyle g(f(x))=x}$ ay nangangahulugang ang ${\displaystyle g(x)}$ na binuo ng ${\displaystyle f(x)}$ ay nag-iiwan sa ${\displaystyle x}$ na hindi nababago. Ang isang punsiyong ${\displaystyle f}$ na may inberso ay tinatawag na invertible. Ang inbersong punsiyon ay unikong matutukoy ng ${\displaystyle f}$ at may simbolong ${\displaystyle f^{-1}}$ (binabasang f inberso).

Ang isang relasyon ay matutukoy na may inberso kung ito ay isang punsiyong isa-sa-isa (one-to-one). Hindi lahat ng punsiyon ay may inberso.

Mga halimbawa

Buong inberso

Isang halimbawa ay ang punsiyong ${\textstyle f(x)=(2x+8)^{3}}$. Upang mahanap ang inberso ng ${\textstyle f}$, kailangang makuha ang katumbas ng ${\displaystyle x}$ sa ${\textstyle y=f(x)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=(2x+8)^{3}\\{\sqrt[{3}]{y}}&=2x+8\\{\sqrt[{3}]{y}}-8&=2x\\{\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}&=x.\end{aligned}}}$

Ang ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ ay isang parsiyal na inberso ng ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ sa domain na ${\displaystyle x\geq 0}$.

Dahil ${\textstyle x=f^{-1}(y)}$, ang inbersong punsiyon ${\textstyle f^{-1}}$ ay

${\displaystyle f^{-1}(y)={\dfrac {{\sqrt[{3}]{y}}-8}{2}}.}$

Parsiyal na inberso

Isa pang halimbawa ay ang punsiyong ${\textstyle g(x)=x^{2}}$. Upang mahanap ang inbersong punsiyong ${\textstyle g^{-1}}$,

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=x^{2}\\{\sqrt {y}}&=x.\\\end{aligned}}}$

Kahit ang punsiyong ${\displaystyle g}$ ay hindi isang punsiyong isa-sa-isa (${\textstyle g(-x)=g(x)=x^{2}}$), ito ay isang punsiyong isa-sa-isa kung ang domain ng ${\textstyle x}$ ay gagawing ${\textstyle x\geq 0}$. Kung kaya ang inberso ng ${\displaystyle g}$ ay

${\displaystyle g^{-1}(y)={\sqrt {y}}.}$

Iskalang Celsius at Fahrenheit

Upang makuha ang katumbas ng halaga sa iskalang Fahrenheit ng isang temperaturang nasa iskalang Celsius:

${\displaystyle F={\tfrac {9}{5}}C+32}$

kung saan ang ${\displaystyle F}$ ay ang temperatura sa iskalang Fahrenheit at ${\displaystyle C}$ naman ay sa iskalang Celsius.

Kung hahayaan ang tumbasang ito na maging isang punsiyong ${\displaystyle f}$ ,

${\displaystyle F=f(C)={\tfrac {9}{5}}C+32}$

kayang makuha ang inberso nitong ${\displaystyle f^{-1}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}F&={\tfrac {9}{5}}C+32\\F-32&={\tfrac {9}{5}}C\\{\tfrac {5}{9}}(F-32)&=C.\\\end{aligned}}}$

Kung kaya naman ang katumbas sa Celsius ng temperaturang ${\displaystyle F}$ sa Fahrenheit ay binibigay ng ${\displaystyle f^{-1}(F)}$:

${\displaystyle C=f^{-1}(F)={\tfrac {5}{9}}(F-32).}$

Ang lathalaing ito na tungkol sa Matematika ay isang usbong. Makatutulong ka sa Wikipedia sa pagpapalawig nito.