Samahan (matematika)

Sa teorya ng pangkat, ang kaisahan,^[1] samahán, (Ingles: union, ipinapakita ng simbolong ∪) o unyon (mula Kastila unión) ng isang koleksyon ng mga pangkat ay ang lahat ng mga elemento sa koleksyon na iyon.^[2] Isa ito sa mga pangunahing operasyong ginagamit sa mga pangkat.

Samahán ng dalawang pangkat: A ∪ B ∪ C.

Samahán ng tatlong pangkat: A ∪ B.

Ang samahán ng A, B, C, D, at E ay ang lahat-lahat maliban lamang sa puting lugar.

Kahulugan

Ang samahán ng dalawang pangkat na A at B ay ang pangkat ng mga elemento na nasa A, nasa B, o nasa parehong A at B:

A ∪ B = {x: x ∈ A o x ∈ B}

Halimbawa, kung A = {1, 3, 5, 7} at ang B = {1, 2, 4, 6, 7}, edi ang A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Isa pang mas komplikadong halimbawa ang nasa ibaba:

A = {x ay isang buumbilang > 1} B = {x ay isang gansal na buumbilang > 1}

A ∪ B = {2, 3, 4, 5, 6, ...}

Bilang isa pang halimbawa, wala sa samahán ng pangkat ng mga pangunahing bilang {2, 3, 5, 7, 11, ...} at pangkat ng mga tukol na bilang {2, 4, 6, 8, 10, ...} ang bilang na 9, dahil hindi ito pangunahin o tukol.

Di maaaring humigit sa isang kopya kada pangkat ang mga elemento ng mga pangkat, kaya naman ang samahán ng mga pangkat na {1, 2, 3} at {2, 3, 4} ay {2, 3, 4}. Walang epekto sa kardinalidad ng pangkat o maging sa laman nito ang pagkakaroon ng maraming magkakatumbas na elemento sa pangkat na iyon.

Mga katangian

Isang operasyong asosyatibo ang samahán ng tambalan; ibig sabihin, para sa kahit anong pangkat na A, B, at C:

${\displaystyle A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C.}$

Maaaring gawin ang mga operasyon sa kahit anong ayos, at maaari ring matanggal ang mga panaklong dahil hindi ito magreresulta sa kalituhan. Komutatibo ang samahán, kaya naman maaaring maisulat din ang mga pangkat sa kahit anong ayos.

Ang walang-lamang pangkat (empty set) ay isang elementong identidad para sa operasyon ng samahán. Ibig sabihin, A ∪ ∅ = A, para sa kahit anong pangkat na A. Sinusunod nito ang mga tuntunin ng dishunsiyon.

Dahil bumubuo ng isang alhebrang Boolean ang mga samahan at salubungan nagbabahagi ang salubungan sa samahán,

${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

at nagbabahagi naman ang samahán sa salubungan:

${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$ .^[3]

Sa isang uniberso, maaaring maisulat ang samahán base sa mga operasyon ng salubungan at komplemento bilang:

${\displaystyle A\cup B=\left(A^{C}\cap B^{C}\right)^{C}}$

kung saan ipinapakita ng nakaangat na ^C ang komplementong nakadepende sa uniberso.

Panghuli, di-nababago ang isang pangkat na sinama sa sarili niya:

${\displaystyle A\cup A=A}$