Alig

Sa teorya ng probabilidad at estadistika, ang alig^[1] (Ingles: variance), na kinakatawan ng simbolong σ², ay isang sukat ng kakalatan ng isang alisagang aliging ${\displaystyle X}$ na katumbas sa inaasahang halaga ng parirami ng liwas buhat sa tamtamang ${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$, o ${\displaystyle \operatorname {E} [X-\operatorname {E} (X)]^{2}}$. Kapag kinuha ang pariugat nito, makukuha naman ang pamantayang liwas, na isa ring sukat ng kakalatan. Dinadaglat din minsan bilang ${\displaystyle \operatorname {Var} (X)}$ o ${\displaystyle \operatorname {V} (X)}$ ang alig.

Halimbawa sa dalawang sambagayan o populasyong may parehong tamtaman (100) nguni't magkaibang alig. Katumbas sa 100 (SD=10) ang alig ng pulang sambagayan, samantala; katumbas naman sa 2500 (SD=50) ang alig ng sambagayang bughaw. Nangangahulugang standard deviation (pamantayang liwas) ang akronim na SD.

Katuringan

Itinuturing ang alig ng isang alisagang aliging ${\displaystyle X}$ na katumbas sa inaasahang halaga ng parirami ng liwas buhat sa tamtamang ${\displaystyle \mu }$, o $${\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {E} (X-\operatorname {E} (X)]^{2}.}$$ Gamit ang katangian ng inaasahang halaga, mapapatunayang na $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[{\left(X-\operatorname {E} [X]\right)}^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]^{2}+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}$$^[2]

Sa hiwalaying alisagang aligin

Kung may nakaugnay na probabilidad sa bawa't halaga ng alisagang aliging ${\displaystyle X}$, alalong baga; ${\displaystyle x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{N}\mapsto p_{N}}$

$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{N}p_{i}\cdot {\left(x_{i}-\mu \right)}^{2},}$$

kung saan ${\displaystyle \mu }$ ang inaasahang halaga o

$${\displaystyle \mu =\sum _{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.}$$^[3]

Maisusulat din ang alig ng katipunan ng halagang ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}...x_{N}}$, kung saan pareho ang probabilidad ng bawa't isa bilang $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-\mu )^{2}}$$

kung saan ${\displaystyle \mu }$ ang tamtaman ng mga datos

$${\displaystyle \mu ={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}.}$$

Isa itong natatanging kalagayan ng probabilidad ng isang hiwalaying alisagang aligin.

"Biased" na binigatang alig

Kung may nauulit na halaga sa ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}...x_{N}}$, minsan ay inilalagyan ng kaukulang "bigat" ang bawa't halaga batay sa kung ilang beses sila nauulit (o ang dalas nito), na kinakatawan ng ${\displaystyle f}$ o freuqency (dalas). Samakatuwid, kung may nauugnay na dalas ${\displaystyle f_{k}}$ sa bawa't halagang ${\displaystyle x_{k}}$ o ${\displaystyle x_{1}\mapsto f_{1},x_{2}\mapsto f_{2},\ldots ,x_{N}\mapsto f_{N}}$, maisusulat ang tumbasan para sa alig sa itaas bilang

$${\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {\sum _{i=1}^{N}f_{i}(x_{i}-\mu )^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{N}f_{i}}}}$$

kung saan

${\displaystyle \mu ={\frac {\sum \limits _{i=1}^{N}f_{i}x_{i}}{\sum \limits _{i=1}^{N}f_{i}}}.}$

at binibilang ang bawa't ${\displaystyle x_{k}}$ ng isang beses lamang (hindi nauulit).

Tignan din

• Pamantayang liwas
• Sukat ng kakalatan
• Tamtaming wagas na liwas