Abel teoremi

Bu madde Abel'in kuvvet serileri üzerine teoremi hakkındadır. Abel'in cebirsel eğriler üzerine teoremi için Abel-Jacobi haritası sayfasına bakınız. Abel'in beşli denklemin çözülemezliği üzerine teoremi için Abel-Ruffini teoremi sayfasına bakınız. Abel'in lineer diferansiyel denklemler teoremi için, Abel özdeşliği sayfasına bakınız. Abel'in indirgenemez polinomlar üzerine teoremi için Abel indirgenemezlik teoremi sayfasına bakınız.

Matematiğin bir ana dalı olan analizde, özellikle gerçel ve karmaşık analizde, Abel teoremi, Abel limit teoremi ya da Abel yakınsaklık teoremi, bir kuvvet serisinin limitini katsayılarının toplamıyla ilişkilendiren önemli bir sonuçtur. Teorem, bu sonucu 1826'da kanıtlayan Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel'in adını taşımaktadır.^[1]

Teoremin ifadesi

Gerçel değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi

Yakınsaklık yarıçapı ${\displaystyle 1}$ olan ve katsayıları gerçel sayı olan bir Taylor serisini ele alalım: $${\displaystyle G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}.}$$ Eğer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ serisi yakınsaksa, o zaman, ${\displaystyle G(x)}$ fonksiyonu ${\displaystyle x=1}$ noktasında soldan süreklidir. Diğer deyişle, $${\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}G(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$$ olur.

Karmaşık değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi

Gerçel değişkenli kuvvet serileri için verilen sonucun karmaşık değişkenli kuvvet serileri için geliştirilmiş hâli de vardır:^[2] Yakınsaklık bölgesi birim disk ${\displaystyle \mathbb {D} }$ olan ve katsayıları karmaşık sayı olan bir Taylor serisini ele alalım: $${\displaystyle G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}.}$$ Eğer ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}}$ serisi yakınsaksa, o zaman ${\displaystyle G(z)}$ fonksiyonunun sabit bir ${\displaystyle M>1}$ tarafından ${\displaystyle \{z\in \mathbb {D}$ :|1-z|\leq M(1-|z|)\}} biçiminde tanımlı bir Stolz dilimi içinden ${\displaystyle z=1}$ noktasında limiti vardır.

Geometrik bir bakış açısıyla, limitin ${\displaystyle z=1}$ noktasına çembere teğet olmadan yaklaşması lazımdır. Birim disk içinde yer alan bu biçimdeki yaklaşma bölgesinde tepe noktası ${\displaystyle z=1}$dir, bölge ${\displaystyle (-\infty ,1)}$ eksenini ortalar ve elbette tepe açısı^{[not 1]} ${\displaystyle 180^{\circ }}$den azdır. Çember üzerindeki bir noktaya bu tür bölgelerden yaklaşılan limitlere teğet olmayan limit denir. Teoremin varsayımındaki teğet olmayan limit bahsi teorem için gereklidir. Gerçekten de bu bölge dışından yaklaşıldığında teoremde bahsedilen sonuca karşıt örnekler bulunabilir. Örneğin, $${\displaystyle G(z)=\sum _{n>0}^{\infty }a_{n}z^{n}}$$ serisini $${\displaystyle a_{n}={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&,n=3^{k},k\in \mathbb {Z} ^{+}\\-{\frac {1}{k}}&,n=2\cdot 3^{k},k\in \mathbb {Z} ^{+}\\0&,{\text{diğer hallerde}}\end{cases}}}$$ olacak şekilde tanımlayalım. ${\displaystyle \sum _{n>0}^{\infty }a_{n}}$ serisi sıfıra yakınsaktır; çünkü, serinin kısmî toplamları ${\displaystyle S_{N}}$ için $${\displaystyle S_{N}={\begin{cases}{\frac {1}{k}}&,3^{k}\leq N<2\cdot 3^{k}{\text{ ise }}\\0&,2\cdot 3^{k}\leq N<3^{k+1}{\text{ ise }}\end{cases}}}$$ olduğu görülebilir. ${\displaystyle S_{N}}$ dizisinin limiti elbette sıfırdır. Diğer taraftan, ${\displaystyle G(z)}$, birim disk ${\displaystyle \mathbb {D} }$'nin tıkız altkümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır; bu yüzden, açık disk üzerinde holomorftur. Gerçekten, ${\displaystyle |z|<1}$ iken $${\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}z^{n}\right|\leq \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}z^{n}|<\sum _{n=1}^{\infty }|z|^{n}={\frac {1}{1-|z|}}.}$$ Diğer taraftan, benzer sebeplerle, ${\displaystyle G(z)}$ fonksiyonunu ${\displaystyle \sum _{n>0}{\frac {z^{3^{n}}-z^{2\cdot 3^{n}}}{n}}}$ olarak yazmanın sakıncası yoktur; çünkü, seri, iki yakınsak serinin farkı olarak yazılmıştır^{[not 2]} Ancak, teğet olmayan limit alınmadığında, meselâ, birim çember üzerinde ${\displaystyle e^{\frac {i\pi }{3^{n}}}}$ noktaları üzerinden limit alındığında seri harmonik serinin bir katı olarak ıraksak olacaktır. Bu yüzden, limitin teğet olmayan limit olması lazımdır.

Kanıt taslağı

Serideki ilk terimden gerekirse serinin değerini çıkararak ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}=0}$ varsayabiliriz. Kısmi toplamlar ${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}}$ ile gösterilsin. ${\displaystyle a_{k}=s_{k}-s_{k-1}}$ ifâdesini kullanarak ve seride birkaç basit işlemden sonra $${\displaystyle G_{a}(z)=(1-z)\sum _{k=0}^{\infty }s_{k}z^{k}}$$ elde ederiz. Herhangi bir ${\displaystyle \varepsilon >0}$ değeri içi ${\displaystyle n}$ sayısını yeteri kadar büyük seçelim öyle ki bütün ${\displaystyle k\geq n}$ için ${\displaystyle |s_{k}|<\varepsilon }$ olsun. O zaman, ${\displaystyle z}$ Stolz diliminin içindeyken $${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=n}^{\infty }s_{k}z^{k}\right|\leq \varepsilon |1-z|\sum _{k=n}^{\infty }|z|^{k}=\varepsilon |1-z|{\frac {|z|^{n}}{1-|z|}}<\varepsilon M}$$ olur. Bu nedenle, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle 1}$'e yeteri kadar yakın olduğunda $${\displaystyle \left|(1-z)\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}z^{k}\right|<\varepsilon }$$ olacaktır. Böylece, ${\displaystyle z}$, ${\displaystyle 1}$'e yeteri kadar yakın olduğunda ve Stolz diliminin içindeyken ${\displaystyle \left|G_{a}(z)\right|<(M+1)\varepsilon }$ olur.

Sonuçlar

Bu teoremin doğrudan bir sonucu olarak, eğer ${\displaystyle z}$ sıfırdan farklı bir karmaşık sayıysa ve bu ${\displaystyle z}$ için ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }a_{k}z^{k}}$ serisi yakınsaksa, o zaman ${\displaystyle \lim _{z\to 1^{-}}G(z)\to \infty }$ olur.

Stolz dilimi

${\displaystyle M}$ 1.01'den 10'a kadar değişirken alınan 20 Stolz dilimi. Kırmızı çizgiler, bu dilimlere ${\displaystyle z=1}$ noktasındaki teğetlerdir ve aynı zamanda Stolz açısını da vermiş olurlar.

${\displaystyle \{z\in \mathbb {D}$ :|1-z|\leq M(1-|z|)\}} şeklinde tanımlanan Stolz diliminin sınırları için $${\displaystyle y^{2}=-{\frac {M^{4}(x^{2}-1)-2M^{2}((x-1)x+1)+2{\sqrt {M^{4}(-2M^{2}(x-1)+2x-1)}}+(x-1)^{2}}{(M^{2}-1)^{2}}}}$$ şeklinde açık bir denklem vardır. ${\displaystyle x={\frac {1-M}{1+M}}}$ noktası bu dilimin en soldaki noktası olurken, en sağdaki nokta da ${\displaystyle x=1}$ olmaktadır. ${\displaystyle x=1}$ noktasındaki tepe açısı ${\displaystyle 2\theta }$ olmaktadır ki bu açı ile ${\displaystyle M}$ arasında ${\displaystyle \cos \theta ={\frac {1}{M}}}$ ilişkisi vardır.

Örnekler

Abel teoreminin uygulaması olarak $${\displaystyle a_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$$ ele alalım. Geometrik serinin, ${\displaystyle -1<x<1}$ iken yakınsak olduğu ve ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}}$ biliniyor. Diyelim ki, ${\displaystyle 0<z<1}$ olsun. O zaman, $${\displaystyle \int _{-z}^{0}{\frac {dx}{1-x}}=\ln(1+z)}$$ olurken diğer taraftan düzgün yakınsaklıktan $${\displaystyle \int _{-z}^{0}\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}dx=\sum _{k=0}^{\infty }\int _{-z}^{0}x^{k}dx=z\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{k}}$$ olur. Böylece, ${\displaystyle 0<z<1}$ için bir taraftan ${\displaystyle G_{a}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{k}}$ varken, aynı zamanda $${\displaystyle G_{a}(z)={\frac {\ln(1+z)}{z}},\qquad 0<z<1,}$$ olmaktadır. O zaman, Abel teoremi sayesinde, ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}$ serisi ${\displaystyle \ln 2}$ değerine yakınsar.

Başka bir benzer örnek $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$ serisi için verilebilir. Ters tanjant fonksiyonu için

${\displaystyle \arctan(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}}$

bilindiği için, $${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{2k+1}}}$$ serisi ${\displaystyle \arctan 1={\tfrac {\pi }{4}}}$ değerine yakınsar.

Notlar

1. Bu açıya Stolz açısı da denilir.
2. Bu iki serinin yakınsaklık kanıtı için yine aynı türden eşitsizlikler kullanılabilir. ${\displaystyle \sum _{n>0}^{\infty }a_{n}}$ serisinin ${\displaystyle z=1}$ noktasında 0'a yakınsadığı buradan da görülebilir.