Yarıçap

Klasik geometride, bir yarıçap^[a] bir çember, daire veya kürenin merkezinden çevresine kadar olan doğru parçalarından herhangi biridir ve daha modern kullanımda aynı zamanda bunların uzunluğudur. Bu isim, ışın anlamına gelen Latince radius kelimesinden ve aynı zamanda bir araba tekerleğinin jant telinden gelmektedir.^[2] Yarıçap için geleneksel gösterim ve matematiksel değişken adı R veya rdir. Buna bağlı olarak, çap D, yarıçapın iki katı olarak tanımlanır:^[3]

${\displaystyle d\doteq 2r\quad \Rightarrow \quad r={\frac {d}{2}}.}$

                     Çevresi C,                      çapı D,                      yarıçapı R                      merkezi veya orijini O olan çember

Eğer bir nesnenin merkezi yoksa, bu terim onun çevrel çemberinin yarıçapı (İng: circumradius), çevrel çember veya çevrel küre yarıçapını ifade edebilir. Her iki durumda da yarıçap, genellikle şeklin herhangi iki noktası arasındaki maksimum mesafe olarak tanımlanan çapın yarısından fazla olabilir. Bir geometrik şeklin iç yarıçapı genellikle içinde bulunan en büyük dairenin veya kürenin yarıçapıdır. Bir halkanın, tüpün veya diğer içi boş nesnelerin iç yarıçapı, boşluğunun - kavitesinin- yarıçapıdır.

Düzgün çokgenler için yarıçap, çevrel çemberin yarıçapı ile aynıdır.^[4] Düzgün bir çokgenin iç teğet çemberinin yarıçapına apotem de denir. Çizge kuramında, bir çizgenin yarıçapı, u'dan çizgenin diğer herhangi bir köşesine olan maksimum uzaklığın tüm u köşeleri üzerindeki minimumudur.^[5]

Çevrel uzunluğu^[b] (çevresi)^[c] C olan çemberin yarıçapı;

${\displaystyle r={\frac {C}{2\pi }}}$

Formül

Birçok geometrik şekil için yarıçapın şeklin diğer ölçüleriyle iyi tanımlanmış bir ilişkisi vardır.

Çemberler

Ayrıca bakınız: Çemberin alanı

Alanı A olan bir dairenin yarıçapı ise

${\displaystyle r={\sqrt {\frac {A}{\pi }}}.}$

Doğrusal olmayan P₁, P₂ ve P₃ gibi üç noktadan geçen çemberin yarıçapı şu şekilde verilir:

${\displaystyle r={\frac {|{\vec {OP_{1}}}-{\vec {OP_{3}}}|}{2\sin \theta }},}$

burada θ, ∠P₁P₂P₃ açısıdır. Bu formül, sinüs yasasını kullanır. Üç nokta (x₁,y₁), (x₂,y₂), and (x₃,y₃) koordinatlarıyla verilirse, yarıçap şu şekilde ifade edilebilir:

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {{\bigl (}(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}{\bigr )}{\bigl (}(x_{3}-x_{1})^{2}+(y_{3}-y_{1})^{2}{\bigr )}}}{2{\bigl |}x_{1}y_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}-x_{2}y_{1}-x_{3}y_{2}{\bigr |}}}.}$

Düzgün çokgenler

Ayrıca bakınız: Çevrel çember

n	Rn
3	0,577350...
4	0,707106...
5	0,850650...
6	1,0
7	1,152382...
8	1,306562...
9	1,461902...
10	1,618033...

Bir kare, örneğin (n = 4)

s uzunluğunda n kenarlı bir düzgün çokgenin r yarıçapı r = R_n s ile verilir, burada ${\displaystyle R_{n}=1\left/\left(2\sin {\frac {\pi }{n}}\right)\right..}$, n'nin küçük değerleri için R_n değerleri tabloda verilmiştir. Eğer s = 1 ise, bu değerler aynı zamanda karşılık gelen düzgün çokgenlerin yarıçaplarıdır.

Hiperküpler

Kenarları s olan d boyutlu bir hiperküpün yarıçapı

${\displaystyle r={\frac {s}{2}}{\sqrt {d}}.}$

Koordinat sistemlerinde kullanım

Kutupsal koordinatlar

Ana madde: Kutupsal koordinat sistemi

Kutupsal koordinat sistemi, bir düzlem üzerindeki her noktanın sabit bir noktadan uzaklık ve sabit bir yönden açı ile belirlendiği iki-boyutlu bir koordinat sistemidir.

Sabit noktaya (Kartezyen sistemin orijinine benzer) kutup denir ve kutuptan sabit yönde gelen ışın kutup eksenidir. Kutuptan uzaklığa radyal koordinat veya yarıçap, açıya ise açısal koordinat, kutup açısı veya azimut denir.^[6]

Silindirik koordinatlar

Ana madde: Silindirik koordinat sistemi

Silindirik koordinat sisteminde, seçilmiş bir referans ekseni ve bu eksene dik seçilmiş bir referans düzlemi vardır. Sistemin orijini her üç koordinatın da sıfır olarak verilebildiği noktadır. Bu, referans düzlemi ile eksen arasındaki kesişim noktasıdır.

Eksen, referans düzleminde uzanan, orijinden başlayan ve referans yönünü gösteren ışın olan kutupsal eksen'den ayırt etmek için çeşitli şekillerde silindirik veya boylamsal eksen olarak adlandırılır.

Eksenden olan uzaklık radyal uzaklık veya yarıçap olarak adlandırılabilirken, açısal koordinat bazen açısal konum veya azimut olarak adlandırılır.

Yarıçap ve azimut birlikte kutupsal koordinatlar olarak adlandırılır, çünkü bunlar noktadan geçen düzlemde referans düzlemine paralel iki boyutlu bir kutupsal koordinat sistemine karşılık gelir. Üçüncü koordinat yükseklik veya rakım veya irtifa^[d] (referans düzlemi yatay olarak kabul edilirse), boylamsal konum^[7] veya eksenel konum^[8] olarak adlandırılabilir.

Küresel koordinatlar

Ana madde: Küresel koordinat sistemi

Küresel bir koordinat sisteminde yarıçap, bir noktanın sabit bir orijinden uzaklığını tanımlar. Noktanın konumu, radyal yön ile sabit bir zirve/doruk^[e] yönü arasında ölçülen kutupsal açı ve azimut açısı, radyal yönün orijinden geçen ve zenite dik olan bir referans düzlemi üzerindeki ortogonal izdüşümü ile bu düzlemdeki sabit bir referans yönü arasındaki açı ile tanımlanır.

Ayrıca bakınız

• Riemann geometrisinde dolgu yarıçapı (Filling radius)
• Yakınsaklık yarıçapı
• Eylemsizlik yarıçapı
• Yarım çap (Semidiameter)

Notlar

1. İngilizcesi radius, çoğul biçimi: radii veya radiuses: The plural of radius can be either radii (from the Latin plural) or the conventional English plural radiuses.^[1]
2. İng: perimeter
3. İng: circumference
4. İng: height veya altitude
5. İng: zenith