Чигереш (комплекс анализ)

Чигереш комплекс анализда - локаль үзлекләрен тасвирлаучы функциянең махсус объекты.

Чигереш
Эшчәнлек өлкәсе	комплекслы анализ[d]
Нинди вики-проектка керә	Проект:Математика[d]

${\displaystyle a}$ ноктасында ${\displaystyle f(z)}$ функциясенең чигереше түбәндәге сан атала:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{\rho \to 0}{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z-a|=\rho }\!f(z)\,dz}$.

Чигереш Лоран рәтенең ${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}}$

${\displaystyle c_{-1}}$ коэффициентына тиң була.

Чиксезлектә чигереш: :

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-\lim _{\rho \to \infty }{1 \over {2\pi i}}\int \limits _{|z|=\rho }\!f(z)\,dz}$.

Һәм ул Лоран рәтенең -1 нче коэффициентына тигез:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,f(z)=-c_{-1}}$.

Логарифмик чигереш

${\displaystyle f(z)}$ функциясенең  ${\displaystyle L}$.контурына карата логарифмик чигереше түбәндәге интеграл атала:

${\displaystyle {1 \over {2\pi i}}\oint \limits _{L}\!{f^{\prime }(z) \over f(z)}\,dz}$

Исәпләү

• Алынучан махсус ноктада чигереш нульга тигез, ләкин чиксезлектә бу дөрес түгел. Мәсәлән:

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z}}}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{\infty }\,{\frac {1}{z}}=-1}$

${\displaystyle {\frac {dz}{z}}}$ нульда һәм чиксезлектз махсус нокталарына ия

• ${\displaystyle n}$ дәрзҗәле ${\displaystyle a}$ ноктасында чигереш болай исәпләнә:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={1 \over (n-1)!}\lim _{z\to a}{{d^{(n-1)} \over dz^{(n-1)}}[(z-a)^{n}f(z)]}}$,

аерым очрак: ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)=\lim _{z\to a}{(z-a)f(z)}}$.

• Әгәр ${\displaystyle f(z)={\frac {g(z)}{h(z)}}}$ ${\displaystyle a}$ ноктасында гади котыпка ия икән чигереш гадирәк исәпләп була:

${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{a}\,f(z)={\frac {g(a)}{h^{\prime }(a)}}}$.

• Махсус аерым нокталар өчен Лоран рәте кулланыла:. Мәсәлән, ${\displaystyle \mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,e^{1/z}=\mathop {\mathrm {Res} } _{0}\,\left(1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2!z^{2}}}+\ldots \right)=1}$

Чигерешләр теоремасы

Әгәр ${\displaystyle f}$ функциясе ниндидер йомык ${\displaystyle {\overline {G}}\subset \mathbb {C} }$ өлкәсендә аналитик булса, ләкин кайбер ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}$ махсус нокталарында функция аналитик булмый, шул очракта түбәндәге тигезләмә үтәлә:

${\displaystyle \int \limits _{\partial G}f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f(z)}$,

биредә ${\displaystyle \mathop {\mathrm {res} } _{z=a_{k}}f}$  —  

${\displaystyle a_{k}}$ ноктасында ${\displaystyle f}$ функциясенең чигереше

Нәкъ әлеге теорема ярдәмендә катлаулы интеграллар табып була.

Мәсәлән:

Интеграл табу контуры.

Интеграл

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itx} \over x^{2}+1}\,dx}$

${\displaystyle \int \limits _{C}{f(z)}\,dz=\int \limits _{C}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz.}$

${\displaystyle {\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}}$	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)}$
	${\displaystyle {}={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},}$

Чигереш:

${\displaystyle \operatorname {res} _{z=i}f(z)={e^{-t} \over 2i}.}$

${\displaystyle \int \limits _{C}f(z)\,dz=2\pi i\,\operatorname {res} _{z=i}f(z)=2\pi i{e^{-t} \over 2i}=\pi e^{-t}.}$

${\displaystyle \int \limits _{\mbox{straight}}+\int \limits _{\mbox{arc}}=\pi e^{-t}\,.}$

${\displaystyle \int \limits _{-a}^{a}=\pi e^{-t}-\int \limits _{\mbox{arc}}.}$

${\displaystyle \int \limits _{\mbox{arc}}{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz\rightarrow 0;\quad a\rightarrow \infty .}$

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-t}.}$

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{t},}$

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }{e^{itz} \over z^{2}+1}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}$

Бу интеграл ихтималлык теориясендә бик мөһим була һәм тик чигерешләр ярдәмендә исәпләнә.

Тригонометрик функциядән билгеләнгән интеграл табу

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }R\!(\sin \varphi$ ;\;\cos \varphi )\,d\varphi } төрендәге функциядән интеграл табу өчен Эйлер тигезләмәсе ${\displaystyle z=e^{i\varphi }}$ кулланып исәпләргә була:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\!R(\sin \varphi ,\;\cos \varphi )\,d\varphi =2\pi i\sum \mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}R(z)}$.

Чиксез өлкәдә интеграл табу

Чигерешләр ярдәмендә чиксез өлкәләге интеграл табу өчен түбәндәге тигезләмәләр кулланыла:

1. ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }zf(z)=0}$ өчен

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)}$.

2. ${\displaystyle \lim _{z\to \infty }zf(z)=0}$ һәм ${\displaystyle \alpha >0}$ өчен

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{+\infty }\!f(x)e^{i\alpha x}\,dx=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\mathop {\mathrm {Res} } _{z=z_{k}}f(z)e^{i\alpha z}}$