Дійсна проєктивна площина
компактний неорієнтований двовимірний многовид / З Вікіпедії, безкоштовно encyclopedia
Дійсна проєктивна площина — приклад компактного неорієнтованого двовимірного многовида, тобто односторонньої поверхні. Проєктивну площину неможливо вкласти у звичайний тривимірний простір без самоперетину. Основна галузь застосування цієї площини — геометрія, позаяк основна побудова дійсної проєктивної площини — простір прямих R3, що проходять через початок координат.
Фундаментальний многокутник[en] площини | Стрічку Мебіуса з єдиним ребром можна замкнути в проєктивну площину, склеївши протилежні краї |
Для порівняння, пляшка Клейна — це стрічка Мебіуса, замкнена в циліндр |
Площину часто описують топологічно в термінах побудови на основі стрічки Мебіуса — якщо склеїти (єдиний) край стрічки Мебіуса із собою в правильному напрямку, отримаємо проєктивну площину (це неможливо здійснити у тривимірному просторі). Еквівалентно, приклеювання круга вздовж межі стрічки Мебіуса дає проєктивну площину. Топологічно, поверхня має ейлерову характеристику 1, бо напіврід (неорієнтований або ейлерів рід) дорівнює 1.
Позаяк стрічку Мебіуса, у свою чергу, можна побудувати з квадрата склеюванням двох його сторін, дійсну проєктивну площину можна подати як одиничний квадрат (тобто [0,1] × [0,1]), у якому сторони ототожнено таким відношенням еквівалентності:
і
- ,
як на лівому малюнку вище.