Інволюція (математика)

Інволюція (інволюційна функція) — в математиці, це функція, що є оберненою сама до себе.

Інволюційна функція ${\displaystyle f:X\to X}$ застосована двічі повертає нас в початкову точку.

Формально, це бієктивне відображення ${\displaystyle f:X\mapsto X,}$ що має властивість

${\displaystyle f(f(x))=x,\quad \forall x\in X.}$

Властивості

• ${\displaystyle \forall x:\qquad f^{-1}(x)=f(x).}$
• ${\displaystyle \forall x,\exists y:\ f(x)=y,\ f(y)=x.}$

Перестановки

Перестановка ${\displaystyle \ \tau }$ є інволюцією, якщо ${\displaystyle \tau \circ \tau =id}$. Кожна інволюція є добутком транспозицій. Наприклад: ${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&4&5&6&7&8\\5&7&4&3&1&8&2&6\end{pmatrix}}=(1,5)(2,7)(3,4)(6,8)}$

Інволюція в Евклідовій геометрії

• Інволюціями є всі симетрії (центральна, осьова) а також інверсія відносно кола.

Інволюція в лінійній алгебрі

В лінійній алгебрі інволюція — це лінійний оператор ${\displaystyle \ T}$, що має властивість ${\displaystyle \ T^{2}=I.}$

Інволюція пов'язана з ідемпотентними операціями:

• Якщо ${\displaystyle \ a}$ — ідемпотент, то ${\displaystyle \ \pm (1-2a)}$ є інволюціями.

• Якщо ${\displaystyle \ b}$ — інволюція, тоді ${\displaystyle {\frac {1-b}{2}}}$ та ${\displaystyle {\frac {1+b}{2}}}$ є ортогональними ідемпотентами.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)