Інтеграл Джексона

Інтеграл Джексона в теорії спеціальних функцій відображає операцію, обернену до q-диференціювання.

Інтеграл Джексона ввів Франк Гілтон Джексон^[en].

Визначення

Нехай f (x) — функція від дійсної змінної x. Інтеграл Джексона для f визначається як такий ряд:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x).}$

У разі, якщо g (x) — інша функція і D_qg означає її q-похідну, формально її можна записати:

${\displaystyle \int f(x)\,D_{q}g\,{\rm {d}}_{q}x=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x)\,D_{q}g(q^{k}x)=(1-q)\,x\sum _{k=0}^{\infty }q^{k}f(q^{k}x){\tfrac {g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)}{(1-q)q^{k}x}},}$ або:

${\displaystyle \int f(x)\,{\rm {d}}_{q}g(x)=\sum _{k=0}^{\infty }f(q^{k}x)\cdot (g(q^{k}x)-g(q^{k+1}x)),}$

В результаті виходить q-аналог інтеграла Рімана — Стілтьєса.

Інтеграл Джексона як q-первісна

Як звичайну первісну неперервного відображення можна подати рімановим інтегралом, так і інтеграл Джексона дає єдину q-первісну для деякого класу функцій (див. Статті Кемпфа і Маджида^[1]).

Теорема

Якщо припустити, що ${\displaystyle 0<q<1}$ і якщо значення ${\displaystyle |f(x)x^{\alpha }|}$ обмежено на інтервалі ${\displaystyle [0,A)}$ для деякого ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <1,}$ то інтеграл Джексона збігається до функції ${\displaystyle F(x)}$ на ${\displaystyle [0,A)}$, яка є q-первісною функції ${\displaystyle f(x)}$. Більш того, ${\displaystyle F(x)}$ неперервна на ${\displaystyle x=0}$ з ${\displaystyle F(0)=0}$ і є первісною функції ${\displaystyle f(x)}$ у цьому класі функцій^[2].