Q-похідна

Q-похідна або похідна Джексона — це q-аналог звичайної похідної, який запропонував Франк Гілтон Джексон^[en]. Q-похідна обернена до q-інтегрування Джексона. Інші види q-похідної можна знайти в статті К. С. Чанга, В. С. Чанга, С. Т. Нама і Г. Дж. Кана^[1].

Визначення

Q-похідна функції f (x) визначається як

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

і часто записується як ${\displaystyle D_{q}f(x)}$. Q-похідна відома також як похідна Джексона.

Формально, в термінах оператора зсуву Лагранжа в логарифмічних змінних, це рівносильно оператору

${\displaystyle D_{q}={\frac {1}{x}}~{\frac {q^{d~~~ \over d(\ln x)}-1}{q-1}}~,}$

який приводить до звичайної похідної, → ^d ⁄ _dx при q → 1.

Оператор очевидно лінійний,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)+g(x))=D_{q}f(x)+D_{q}g(x)~.}$

Q-похідна має правило для добутку, аналогічне правилу добутку для звичайної похідної в двох еквівалентних формах

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)g(x))=g(x)D_{q}f(x)+f(qx)D_{q}g(x)=g(qx)D_{q}f(x)+f(x)D_{q}g(x).}$

Аналогічно, q-похідна задовольняє правилу для ділення,

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x)/g(x))={\frac {g(x)D_{q}f(x)-f(x)D_{q}g(x)}{g(qx)g(x)}},\quad g(x)g(qx)\neq 0.}$

Є також правило, подібне до правила звичайного диференціювання суперпозиції функцій. нехай ${\displaystyle g(x)=cx^{k}}$ . тоді

${\displaystyle \displaystyle D_{q}f(g(x))=D_{q^{k}}(f)(g(x))D_{q}(g)(x).}$

Власна функція q -похідної — це q-показникова функція^[en] e_q(x).

Зв'язок зі звичайними похідними

Q-диференціювання нагадує звичайне диференціювання з курйозними відмінностями. Наприклад, q-похідна одночлена дорівнює

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1}}$ ,

де ${\displaystyle [n]_{q}}$ — q-дужка числа n. Зауважимо, що ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n}$, так що звичайна похідна повертається в границі.

Для функції n-а q-похідну можна задати як:

${\displaystyle (D_{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!}$

за умови, що звичайна n-а похідна функції f існує в x = 0. Тут ${\displaystyle (q;q)_{n}}$ — q-символ Похгаммера, а ${\displaystyle [n]_{q}!}$ — q-факторіал. Якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ аналітична, можна використати формулу Тейлора для визначення ${\displaystyle D_{q}(f(x))}$

${\displaystyle \displaystyle D_{q}(f(x))=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(q-1)^{k}}{(k+1)!}}x^{k}f^{(k+1)}(x).}$

Q-аналог розкладу Тейлора функції поблизу нуля:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }f^{(n)}(0)\,{\frac {z^{n}}{n!}}=\sum _{n=0}^{\infty }(D_{q}^{n}f)(0)\,{\frac {z^{n}}{[n]_{q}!}}}$

Див. також

• Похідна
• Інтеграл Джексона
• Q-показникова функція^[en]
• Q-різницеві многочлени^[en]
• Квантове числення^[en]
• Ентропія Цалліса