Інтегрування за допомогою формули Ейлера

В інтегральному численні комплексні числа та формула Ейлера можуть бути використані для знаходження інтегралів, що містять тригонометричні функції. Використовуючи формулу Ейлера, будь-яка тригонометрична функція може бути записана через експоненціальні функції ${\displaystyle {\rm {e}}^{ix}}$ та ${\displaystyle {\rm {e}}^{-ix}}$, а потім проінтегрована. Цей спосіб часто простіший і швидший, ніж використання тригонометричних тотожностей або інтегрування частинами, і є досить ефективним для інтегрування будь-якого раціонального виразу, що містить тригонометричні функції.

Формула Ейлера

Формула Ейлера стверджує, що^[1]

${\displaystyle {\rm {e}}^{ix}=\cos x+i\sin x}$.

Підстановка ${\displaystyle -x}$ замість ${\displaystyle x}$ дає рівняння

${\displaystyle {\rm {e}}^{-ix}=\cos x-i\sin x}$,

оскільки косинус — парна, а синус — непарна функції. Ці два рівняння можна розв'язати відносно синуса та косинуса:

${\displaystyle \cos x={\frac {{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}}{2}}\quad {\text{та}}\quad \sin x={\frac {{\rm {e}}^{ix}-{\rm {e}}^{-ix}}{2i}}}$.

Приклади

Перший приклад

Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int \cos ^{2}x\operatorname {d} x}$.

Стандартний підхід до цього інтегралу полягає у використанні формули половинного кута для спрощення підінтегральної функції. Однак, можна використовувати тотожність Ейлера замість цього:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cos ^{2}x\operatorname {d} x&=\int \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}}{2}}\right)^{2}\operatorname {d} x\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}+2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\operatorname {d} x.\end{aligned}}}$

На цьому етапі можливий перехід до дійсних чисел за формулою ${\displaystyle {\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}=2\cos 2x}$. Крім того, можливе інтегрування комплексних експонент без повернення до тригонометричних функцій:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{4}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}+2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\operatorname {d} x&={\frac {1}{4}}\left({\frac {{\rm {e}}^{2ix}}{2i}}+2x-{\frac {{\rm {e}}^{-2ix}}{2i}}\right)+C\\[6pt]&={\frac {1}{4}}\left(2x+\sin 2x\right)+C.\end{aligned}}}$

Другий приклад

Розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x}$.

Знаходження цього інтегралу за допомогою тригонометричних тотожностей досить громіздке, але використання тотожності Ейлера робить його відносно нескладним:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x&=\int \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}-{\rm {e}}^{-ix}}{2i}}\right)^{2}\left({\frac {{\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{-4ix}}{2}}\right)\operatorname {d} x\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left({\rm {e}}^{2ix}-2+{\rm {e}}^{-2ix}\right)\left({\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{-4ix}\right)\operatorname {d} x\\[6pt]&=-{\frac {1}{8}}\int \left({\rm {e}}^{6ix}-2{\rm {e}}^{4ix}+{\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}-2{\rm {e}}^{-4ix}+{\rm {e}}^{-6ix}\right)\operatorname {d} x.\end{aligned}}}$

На цьому етапі можна одразу використати метод безпосереднього інтегрування, або спочатку замінити підінтегральну функцію на ${\displaystyle 2\cos 6x-4\cos 4x+2\cos 2x}$ і продовжити інтегрування. Будь-який з методів дає

${\displaystyle \int \sin ^{2}x\cos 4x\operatorname {d} x=-{\frac {1}{24}}\sin 6x+{\frac {1}{8}}\sin 4x-{\frac {1}{8}}\sin 2x+C}$.

Використання дійсної частини

Крім тотожності Ейлера може бути корисним використання дійсної частини комплексного виразу. Наприклад, розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x}$.

Оскільки ${\displaystyle \cos x}$ — дійсна частина функції ${\displaystyle {\rm {e}}^{ix}}$, то

${\displaystyle \int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x=\operatorname {Re} \left(\int {\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{ix}\operatorname {d} x\right).}$

Інтеграл праворуч легко знайти:

${\displaystyle \int {\rm {e}}^{x}{\rm {e}}^{ix}\operatorname {d} x=\int {\rm {e}}^{(1+i)x}\operatorname {d} x={\frac {{\rm {e}}^{(1+i)x}}{1+i}}+C.}$

Отже,

${\displaystyle {\begin{aligned}\int {\rm {e}}^{x}\cos x\operatorname {d} x&=\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{(1+i)x}}{1+i}}\right)+C={\rm {e}}^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}}{1+i}}\right)+C\\[6pt]&={\rm {e}}^{x}\operatorname {Re} \left({\frac {{\rm {e}}^{ix}(1-i)}{2}}\right)+C={\rm {e}}^{x}{\frac {\cos x+\sin x}{2}}+C.\end{aligned}}}$

Дроби

Загалом, цей метод може бути використаний для обчислення будь-яких дробивих виразів, що містять тригонометричні функції. Наприклад, розглянемо інтеграл

${\displaystyle \int {\frac {1+\cos ^{2}x}{\cos x+\cos 3x}}\operatorname {d} x}$.

Використовуючи тотожність Ейлера, отримаємо

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\int {\frac {12+{\rm {e}}^{2ix}+{\rm {e}}^{-2ix}}{{\rm {e}}^{ix}+{\rm {e}}^{-ix}+{\rm {e}}^{3ix}+{\rm {e}}^{-3ix}}}\operatorname {d} x}$.

Якщо виконати підстановку ${\displaystyle u={\rm {e}}^{ix}}$, то отримаємо інтеграл від дробово-раціональної функції:

${\displaystyle -{\frac {i}{2}}\int {\frac {1+12u^{2}+u^{4}}{1+u^{2}+u^{4}+u^{6}}}\operatorname {d} u}$.

Будь-яка раціональна функція є інтегрованою (наприклад, використовуючи елементарні дроби), і тому будь-який дріб, що містить тригонометричні функції, також може бути інтегрованим.

Див. також

• Тригонометричні підстановки^[en]
• Підстановка тангенса половинного кута
• Підстановки Ейлера