Список тригонометричних тотожностей

Тригонометричні тотожності — математичні вирази з тригонометричними функціями, що виконуються для всіх значень аргумента зі спільної області визначення.

Основні позначення

Кути

В цій статті кути позначені грецькими буквами ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ і т. д. Величину кута найчастіше задають в градусах або радіанах:

1 повне коло  = 360 градусів = 2${\displaystyle \pi }$ радіан  

В наступній таблиці наведено співвідношення між значеннями в градусах і радіанах для деяких кутів

Градуси	30°	60°	120°	150°	210°	240°	300°	330°
Радіани	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}\!}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}\!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}\!}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{6}}\!}$	${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}\!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{3}}\!}$	${\displaystyle {\frac {11\pi }{6}}\!}$
Градуси	45°	90°	135°	180°	225°	270°	315°	360°
Радіани	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\!}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}\!}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}\!}$	${\displaystyle \pi \!}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{4}}\!}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}\!}$	${\displaystyle {\frac {7\pi }{4}}\!}$	${\displaystyle 2\pi \!}$

Якщо не сказано інакше, то всі кути задано у радіанах, а кути, що закінчуються символом (°) — в градусах.

Тригонометричні функції

Докладніше: Тригонометричні функції

У статті будуть наведені співвідношення та тотожності для шести основних тригонометричних функцій:

• синус ${\displaystyle \sin \alpha ,}$
• косинус ${\displaystyle \cos \alpha ,}$
• тангенс ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• котангенс ${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• секанс ${\displaystyle \operatorname {sec} \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }},\quad \alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

• косеканс ${\displaystyle \operatorname {csc} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }},\quad \alpha \neq \pi n,\,n\in \mathbb {Z} ,}$

В англомовній літературі тангенс та котангенс зазвичай позначають ${\displaystyle \tan \alpha }$ та ${\displaystyle \cot \alpha ,}$ відповідно.

Обернені тригонометричні функції

Докладніше: Обернені тригонометричні функції

Обернені тригонометричні функції це такі функції, композиція яких зі звичайними тригонометричними функціями дає тотожне відображення. Наприклад, функція обернена до синуса, відома як обернений синус (sin⁻¹) або арксинус (arcsin or asin), задовольняє співвідношення

${\displaystyle \sin(\arcsin x)=x,\quad \quad |x|\leq 1}$

та

${\displaystyle \arcsin(\sin x)=x,\quad \quad |x|\leq {\frac {\pi }{2}}.}$

Тригонометричні функції та обернені до них наведені в наступній таблиці:

Функція	sin	cos	tg	ctg	sec	csc
Обернена	arcsin	arccos	arctg	arcctg	arcsec	arccsc

Екзотичні тригонометричні функції

Докладніше: Екзотичні тригонометричні функції

Крім основних шести, також використовують інші тригонометричні функції кута. Їх використовували раніше при розв'язуванні різних навігаційних задач, однак з розвитком обчислювальної техніки вони втратили свою актуальність.

Назва	Скорочене позн.	Значення
синус-верзус	${\displaystyle \operatorname {versin} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {vers} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {ver} (\theta )}$	${\displaystyle 1-\cos(\theta )}$
косинус-верзус	${\displaystyle \operatorname {vercosin} (\theta )}$	${\displaystyle 1+\cos(\theta )}$
коверсинус	${\displaystyle \operatorname {coversin} (\theta )}$ ${\displaystyle \operatorname {cvs} (\theta )}$	${\displaystyle 1-\sin(\theta )}$
коверкосинус	${\displaystyle \operatorname {covercosin} (\theta )}$	${\displaystyle 1+\sin(\theta )}$
гаверсинус	${\displaystyle \operatorname {haversin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1-\cos(\theta )}{2}}}$
гаверкосинус	${\displaystyle \operatorname {havercosin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1+\cos(\theta )}{2}}}$
когаверсинус	${\displaystyle \operatorname {hacoversin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1-\sin(\theta )}{2}}}$
когаверкосинус	${\displaystyle \operatorname {hacovercosin} (\theta )}$	${\displaystyle {\frac {1+\sin(\theta )}{2}}}$
ексеканс	${\displaystyle \operatorname {exsec} (\theta )}$	${\displaystyle \sec(\theta )-1}$
екскосеканс	${\displaystyle \operatorname {excsc} (\theta )}$	${\displaystyle \csc(\theta )-1}$
хорда	${\displaystyle \operatorname {crd} (\theta )}$	${\displaystyle 2\sin {\frac {\theta }{2}}}$

Таблиці значень тригонометричних функцій

Значення тригонометричних функцій для найпоширеніших значень кутів (в радіанах)

	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle {\frac {2\pi }{3}}}$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{4}}}$	${\displaystyle {\frac {5\pi }{6}}}$	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}}$
${\displaystyle \sin \alpha =}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1}$
${\displaystyle \cos \alpha =}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {2}}{2}}}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{2}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \pm \infty }$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\frac {\sqrt {3}}{3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle \pm \infty }$	${\displaystyle 0}$

В тих точках, де значення тангенса та котангенса прямують до нескінченності знак залежить від того з якого боку до цієї точки ми підходимо.

Для тангенса — якщо справа, то ${\displaystyle +\infty }$, а якщо зліва, то ${\displaystyle -\infty }$. Для котангенса навпаки.

Значення тригонометричних функцій для деяких кутів

	${\displaystyle {\frac {\pi }{16}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{15}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{12}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{10}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{5}}}$
${\displaystyle \sin \alpha =}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {3}}(1-{\sqrt {5}})}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{8}}}}$
${\displaystyle \cos \alpha =}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {3}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}-1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{8}}}}$	${\displaystyle {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}$

Основні тригонометричні формули

Основні формули
${\displaystyle ~\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1}$	(1)
${\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha }$	(2)
${\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {csc} ^{2}\alpha }$	(3)

Формула (1) є наслідком теореми Піфагора (Тригонометрична тотожність Піфагора). Формули (2) і (3) добуваються діленням формули (1) на ${\displaystyle \cos ^{2}\alpha }$ та ${\displaystyle \sin ^{2}\alpha }$ відповідно.

Співвідношення між основними тригонометричними функціями

Кожна з тригонометричних функцій виражена через п'ять інших.

	${\displaystyle \sin \alpha \!}$	${\displaystyle \cos \alpha \!}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \!}$	${\displaystyle \csc \alpha \!}$	${\displaystyle \sec \alpha \!}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \!}$
${\displaystyle \sin \alpha =\!}$	${\displaystyle \sin \alpha \ }$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {tg} \alpha }{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\csc \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}{\sec \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}\!}$
${\displaystyle \cos \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}\!}$	${\displaystyle \cos \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}{\csc \alpha }}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sec \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\operatorname {ctg} \alpha }{\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}}\!}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sin \alpha }{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}{\cos \alpha }}\!}$	${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {ctg} \alpha }}\!}$
${\displaystyle \csc \alpha =\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\sin \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}{\operatorname {tg} \alpha }}\!}$	${\displaystyle \csc \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sec \alpha }{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}\!}$
${\displaystyle \sec \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\cos \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\csc \alpha }{\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}}\!}$	${\displaystyle \sec \alpha \!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}{\operatorname {ctg} \alpha }}\!}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha =\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\alpha }}{\sin \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {\cos \alpha }{\sqrt {1-\cos ^{2}\alpha }}}\!}$	${\displaystyle {\frac {1}{\operatorname {tg} \alpha }}\!}$	${\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\alpha -1}}\!}$	${\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\alpha -1}}}\!}$	${\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \!}$

Формули зведення

Сукупність формул, що відображають симетрію тригонометричних функцій відносно певних значень кутів, перетворення при зсуві аргументу на деякий кут, а також періодичність тригонометричних функцій.

Симетрія

Виконуються такі співвідношення:

Симетрія відносно кута ${\displaystyle \alpha =0}$	Симетрія відносно ${\displaystyle \alpha =\pi /2}$ (співвідношення між ко-функціями)	Симетрія відносно ${\displaystyle \alpha =\pi }$
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\alpha )&=-\sin \alpha \\\cos(-\alpha )&=+\cos \alpha \\\operatorname {tg} (-\alpha )&=-\operatorname {tg} \alpha \\\csc(-\alpha )&=-\csc \alpha \\\sec(-\alpha )&=+\sec \alpha \\\operatorname {ctg} (-\alpha )&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\cos \alpha \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sin \alpha \\\operatorname {tg} ({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\operatorname {ctg} \alpha \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\sec \alpha \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\csc \alpha \\\operatorname {ctg} ({\tfrac {\pi }{2}}-\alpha )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\alpha )&=+\sin \alpha \\\cos(\pi -\alpha )&=-\cos \alpha \\\operatorname {tg} (\pi -\alpha )&=-\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\pi -\alpha )&=+\csc \alpha \\\sec(\pi -\alpha )&=-\sec \alpha \\\operatorname {ctg} (\pi -\alpha )&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}}$

Зсув та періодичність

Співвідношення часто використовують для спрощення обчислень.

Зсув на π/2	Зсув на π Період tg і ctg	Зсув на 2π Період sin, cos, csc і sec
${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \alpha \\\cos(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {ctg} \alpha \\\csc(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \alpha \\\sec(\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\operatorname {tg} \alpha \end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +\pi )&=-\sin \alpha \\\cos(\alpha +\pi )&=-\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +\pi )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\alpha +\pi )&=-\csc \alpha \\\sec(\alpha +\pi )&=-\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +\pi )&=+\operatorname {ctg} \alpha \\\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\alpha +2\pi )&=+\sin \alpha \\\cos(\alpha +2\pi )&=+\cos \alpha \\\mathrm {tg} (\alpha +2\pi )&=+\operatorname {tg} \alpha \\\csc(\alpha +2\pi )&=+\csc \alpha \\\sec(\alpha +2\pi )&=+\sec \alpha \\\mathrm {ctg} (\alpha +2\pi )&=+\operatorname {ctg} \alpha \end{aligned}}}$

Формули для суми аргументів

Візуалізація формули (6)

Формули для суми аргументів
${\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta }$	(5)
${\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta }$	(6)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta }{1\mp \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \mathop {\mathrm {tg} } \beta }}}$	(7)
${\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \mathop {\mathrm {ctg} } \beta \mp 1}{\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta }}}$

Формула (7) отримана діленням (5) на (6).

Синус і косинус від нескінченної суми

${\displaystyle \sin \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k+1\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right),}$

${\displaystyle \cos \left(\sum _{i=1}^{\infty }\alpha _{i}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }~(-1)^{k}~~\sum _{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=2k\end{smallmatrix}}\left(\prod _{i\in A}\sin \alpha _{i}\prod _{i\not \in A}\cos \alpha _{i}\right).}$

У правих частинах рівності суму взято по всіх підмножинах натуральних чисел з 2k+1 або 2k елементів відповідно.

Тангенси від сум аргументів

Нехай ${\displaystyle e_{k}=e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\,k=0,1,2,\ldots ,n=1,2,3\ldots ,}$ — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних

${\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Наприклад:

${\displaystyle e_{0}=1,}$

${\displaystyle e_{1}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}=\sum _{i}\operatorname {tg} \alpha _{i},}$

${\displaystyle e_{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j}=\sum _{i<j}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j},}$

${\displaystyle e_{3}=\sum _{1\leq i<j<k\leq n}x_{i}x_{j}x_{k}=\sum _{i<j<k}\operatorname {tg} \alpha _{i}\operatorname {tg} \alpha _{j}\operatorname {tg} \alpha _{k}.}$

Тоді

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k+1}e_{2k-1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i+1}e_{2i-1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}},\!}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \left(\sum _{i=1}^{2k+1}\alpha _{i}\right)={\frac {e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k+1}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots +(-1)^{k}e_{2k}}}={\frac {\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i}e_{2i+1}}{\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}e_{2i}}}.\!}$

Наприклад:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2})&={\frac {e_{1}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {x_{1}+x_{2}}{1\ -\ x_{1}x_{2}}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}{1\ -\ \mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}}}={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3})}}={\frac {\mathrm {tg} \,\alpha _{1}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{3}-\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3}}{1-(\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{2}+\mathrm {tg} \,\alpha _{1}\,\mathrm {tg} \,\alpha _{3}+\mathrm {tg} \,\alpha _{2}\mathrm {tg} \,\alpha _{3})}},\\[8pt]\mathrm {tg} (\alpha _{1}+\alpha _{2}+\alpha _{3}+\alpha _{4})&={\frac {e_{1}-e_{3}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}}}\\[8pt]&={\frac {(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4})\ -\ (x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{4}+x_{1}x_{3}x_{4}+x_{2}x_{3}x_{4})}{1\ -\ (x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{1}x_{4}+x_{2}x_{3}+x_{2}x_{4}+x_{3}x_{4})\ +\ (x_{1}x_{2}x_{3}x_{4})}}\end{aligned}}}$

і так далі.

Секанс і косеканс від суми аргументів

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{0}-e_{2}+e_{4}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{0\leq 2k\leq n}(-1)^{k}e_{2k}}}\\[8pt]\csc \left(\sum _{i}^{n}\alpha _{i}\right)&={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{e_{1}-e_{3}+e_{5}-\cdots }}={\frac {\displaystyle \prod _{i}^{n}\sec \alpha _{i}}{\displaystyle \sum _{1\leq 2k+1\leq n}(-1)^{k}e_{2k+1}}}\end{aligned}}}$

де e_k — елементарні симетричні многочлени степеня k від n змінних (дивись пункт тангенси від сум аргументів)

${\displaystyle x_{i}=\operatorname {tg} \alpha _{i}\quad i=1,2,\ldots ,n.}$

Наприклад,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sec(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma }},\\[8pt]\csc(\alpha +\beta +\gamma )&={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{\mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma -\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \operatorname {tg} \gamma }}.\end{aligned}}}$

Формули подвійного кута

Формули подвійного кута виведені з формул (5), (6) і (7), якщо взяти кут β рівним α:

Формули подвійного кута
${\displaystyle \mathop {\mathrm {sin} } 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha }$	(23)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {cos} } 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }=2\cos ^{2}\alpha -1={1-2\operatorname {sin} ^{2}\alpha }={\frac {1-\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }{1+\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }}}$	(24)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \,2\alpha ={\frac {2\mathop {\mathrm {tg} } \alpha }{1-\mathop {\mathrm {tg} } ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }}}$	(25)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \,2\alpha ={\frac {\mathop {\mathrm {ctg} } ^{2}\alpha -1}{2\mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {tg} \alpha }{2}}}$

Формули потрійного кута

Формули потрійного кута
${\displaystyle \sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha =4\sin \alpha \sin \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\sin \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,}$
${\displaystyle \cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha =4\cos \alpha \cos \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\cos \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}=\mathop {\mathrm {tg} } \,\alpha \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}=\mathrm {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}-\alpha \right)\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{3}}+\alpha \right)}$

Формули кратних кутів

Формули кратних кутів
${\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha }$
${\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha }$
${\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {tg} ^{2k}\alpha }}}}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\operatorname {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\operatorname {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}}}$

де ${\displaystyle [n]}$ — ціла частина числа ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ — біноміальний коефіцієнт.

Вивід формул

Формули для кратних кутів виводяться за допомогою формули Муавра

${\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right),\quad i^{2}=-1.}$

Розкриємо праву частину рівності за формулою бінома Ньютона

${\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{q=0}^{n}{n \choose q}(\cos \alpha )^{n-q}(i\sin \alpha )^{q}.}$

Врахувавши, що ${\displaystyle i^{2k}=(-1)^{k},\,i^{2k+1}=(-1)^{k}i,\,k\in \mathbb {Z} _{+},}$ та виділивши окремо дійсну та уявну частини, рівність запишемо у вигляді

${\displaystyle \left(\cos \alpha +i\sin \alpha \right)^{n}=\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right).}$

Підставимо отриману рівність у формулу Муавра

${\displaystyle \sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k}(\sin \alpha )^{2k}+i\left(\sum _{k=0}^{[n/2]}{n \choose 2k+1}(-1)^{k}(\cos \alpha )^{n-2k-1}(\sin \alpha )^{2k+1}\right)=\cos \left(n\alpha \right)+i\sin \left(n\alpha \right).}$

Оскільки два комплексні числа рівні тоді і лише тоді коли рівні їхні дійсні та уявні частини, то з останньої рівності отримуємо шукані формули

${\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}$

${\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum _{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha .}$

Ітераційні формули

${\displaystyle \sin(n+1)\alpha =2\sin \alpha \cos n\alpha +\sin(n-1)\alpha ,}$

${\displaystyle \cos(n+1)\alpha =2\cos \alpha \cos n\alpha +\cos(n-1)\alpha .}$

${\displaystyle \mathrm {tg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {tg} (n\alpha )+\operatorname {tg} \alpha }{1-\mathrm {tg} (n\alpha )\operatorname {tg} \alpha }}.}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} (n+1)\alpha ={\frac {\mathrm {ctg} (n\alpha )\operatorname {ctg} \alpha -1}{\mathrm {ctg} (n\alpha )+\operatorname {ctg} \alpha }}.}$

З використанням спеціальних многочленів

Мають місце такі співвідношення:

${\displaystyle \cos n\alpha =T_{n}(\cos \alpha ),\quad \sin ^{2}n\alpha ={\frac {1-T_{n}(1-2\sin ^{2}\alpha )}{2}},}$

де ${\displaystyle T_{n}(x)}$ — поліном Чебишова першого роду степеня n.

Зображення у вигляді скінченних добутків

${\displaystyle \sin 2m\alpha =2m\sin \alpha \cos \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m}}}}\right),\quad \cos 2m\alpha =\prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{4m}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sin(2m-1)\alpha =(2m-1)\sin \alpha \prod _{k=1}^{m-1}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi k}{2m-1}}}}\right),\quad \cos(2m-1)\alpha =\cos \alpha \prod _{k=1}^{m}\left(1-{\frac {\sin ^{2}\alpha }{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\pi (2k-1)}{2(2m-1)}}}}\right),\quad m\in \mathbb {N} ,}$

${\displaystyle \sin n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {k\pi }{n}}\right),\quad \cos n\alpha =2^{n-1}\prod _{k=1}^{n}\sin \left(\alpha +{\frac {(2k-1)\pi }{2n}}\right).}$

Формули половинного кута

Формули половинного кута
${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}}\,}$
${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}}\,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }}\,}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {\alpha }{2}}=\pm {\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }}\,}$

Знак перед виразом обрано відповідно до того, до якого квадранту належить кут ${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$.

Формули пониження степеня

Формули пониження степеня виведені з формул подвійного кута:

Синус	Косинус	Інше
${\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}}$	${\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}}$	${\displaystyle \sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}}$
${\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}}$	${\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}}$	${\displaystyle \sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}}$
${\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$	${\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}}$	${\displaystyle \sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}}$
${\displaystyle \sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}}$	${\displaystyle \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}}$	${\displaystyle \sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}}$

Загальні формули пониження степеня

Загальні формули пониження степеня
${\displaystyle \sin ^{2n}\alpha ={\frac {1}{2^{2n-1}}}\left({\binom {2n}{n}}+\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\binom {2n}{k}}\cos 2(n-k)\alpha \right)\,}$
${\displaystyle \sin ^{2n+1}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{n+k}{\binom {2n+1}{k}}\sin(2(n-k)+1)\alpha }$
${\displaystyle \cos ^{2n}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}}}\left({\binom {2n}{n}}+2\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {2n}{k}}\cos 2(n-k)\alpha \right)}$
${\displaystyle \cos ^{2n+1}\alpha ={\frac {1}{2^{2n}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {2n+1}{k}}\cos(2(n-k)+1)\alpha }$

де ${\displaystyle {\binom {n}{k}}}$ — біноміальний коефіцієнт.

Формули перетворення добутків функцій

Формули перетворення добутків функцій
${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}}$	(28)
${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}}$	(29)
${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}{2}}}$	(30)
${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )}}}$
${\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}$	(31)
${\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}$	(32)
${\displaystyle \,\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta +\gamma )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta -\gamma )-\cos(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}$	(33)
${\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {-\sin(\alpha +\beta +\gamma )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )+\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )}{4}}}$	(34)

Формули перетворення суми функцій

Формули перетворення суми функцій
${\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}$	(35)
${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$	(36)
${\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}$	(37)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {tg} } \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}$	(38)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {ctg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}$	(39)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha \pm \mathop {\mathrm {ctg} } \beta ={\frac {\pm \cos(\alpha \mp \beta )}{\cos \alpha \sin \beta }}}$	(40)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha +\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha \sin \alpha }}=2\csc 2\alpha }$	(41)
${\displaystyle \mathop {\mathrm {tg} } \alpha -\mathop {\mathrm {ctg} } \alpha =-2\mathop {\mathrm {ctg} } 2\alpha }$	(42)
${\displaystyle \cos \alpha +\sin \alpha ={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)}$	(43)
${\displaystyle \cos \alpha -\sin \alpha ={\sqrt {2}}\sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)={\sqrt {2}}\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)}$	(43)

Загальні суми

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\cos(2k-1)\alpha =\cos \alpha +\cos 3\alpha +\cos 5\alpha +\ldots +\cos(2n-1)\alpha ={\frac {\sin 2n\alpha }{2\sin \alpha }},\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle }$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(2k-1)\alpha =\sin \alpha +\sin 3\alpha +\sin 5\alpha +\ldots +\sin(2n-1)\alpha ={\frac {\sin ^{2}n\alpha }{\sin \alpha }},\quad n\geq 1,}$

${\displaystyle }$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos(\varphi +k\alpha )=\cos \varphi +\cos(\varphi +\alpha )+\cos(\varphi +2\alpha )+\ldots +\cos(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \cos \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1,}$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\sin(\varphi +k\alpha )=\sin \varphi +\sin(\varphi +\alpha )+\sin(\varphi +2\alpha )+\ldots +\sin(\varphi +n\alpha )={\frac {\displaystyle \sin \left(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}}\right)\sin {\frac {(n+1)\alpha }{2}}}{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad \alpha \neq 0,n\geq 1.}$

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\cos ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 3+2n+\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad \sum _{k=0}^{n}\sin ^{2}(k\alpha )={\frac {\displaystyle 1+2n-\csc \alpha \sin(2n+1)\alpha }{4}},\quad n\geq 1,}$

• ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}k\cos(k\alpha )={\frac {n\displaystyle \sin {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {1-\cos n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}},\quad \sum _{k=1}^{n-1}k\sin(k\alpha )={\frac {\sin n\alpha }{4\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}-{\frac {n\displaystyle \cos {\frac {2n-1}{2}}\alpha }{2\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}}},\quad n\geq 2,}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha -p^{n+1}\cos(n+1)\alpha -p^{n+2}\cos n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1,}$
• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha -p^{n+1}\sin(n+1)\alpha -p^{n+2}\sin n\alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad n\geq 1.}$

Якщо ж ${\displaystyle p}$ таке, що ${\displaystyle |p|<1}$, то при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ отримуємо

• ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\cos(k\alpha )={\frac {1-p\cos \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}},\quad \sum _{k=0}^{\infty }p^{k}\sin(k\alpha )={\frac {p\sin \alpha }{1-2p\cos \alpha +p^{2}}}.}$

Ядро Діріхле та ядро Феєра

Сума виду

${\displaystyle D_{n}(x)={\frac {1}{2}}+\sum _{k=1}^{n}\cos(kx)={\frac {\sin \left(\left(n+\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)x\right)}{2\sin \left(\displaystyle {\frac {x}{2}}\right)}}.}$

називається ядром Діріхле.

А функція

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}D_{k}(x),}$

називається ядром Феєра

${\displaystyle \Phi _{n}(x)={\frac {1}{2(n+1)}}\left({\frac {\sin \displaystyle {\frac {n+1}{2}}x}{\sin \displaystyle {\frac {x}{2}}}}\right)^{2}={\frac {1}{2(n+1)}}{\frac {1-\cos((n+1)x)}{1-\cos x}}}$,

Вони використані при сумуванні рядів Фур'є.

Зображення через нескінченні добутки

${\displaystyle \sin x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right),\qquad \cos x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-\displaystyle {\frac {x^{2}}{\pi ^{2}\left(n-\displaystyle {\frac {1}{2}}\right)^{2}}}\right),}$

Співвдношення за додаткових обмежень на значення кутів

• Нехай

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =\pi ,}$

тоді

${\displaystyle \sin 2\alpha +\sin 2\beta +\sin 2\gamma =4\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,\,}$

${\displaystyle \sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\cos {\frac {\alpha }{2}}\cos {\frac {\beta }{2}}\cos {\frac {\gamma }{2}},\,}$

${\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\sin ^{2}\beta +\sin ^{2}\gamma =2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +2,\,}$

${\displaystyle \cos 2\alpha +\cos 2\beta +\cos 2\gamma =-4\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -1,\,}$

${\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}+1,}$

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =-2\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma +1,\,}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha +\mathrm {tg} \,\beta +\mathrm {tg} \,\gamma =\mathrm {tg} \,\alpha \,\mathrm {tg} \,\beta \,\mathrm {tg} \,\gamma ,\,}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}+\mathrm {tg} \,{\frac {\gamma }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}\mathrm {tg} \,{\frac {\beta }{2}}=1,}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}}+\mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}}=\mathrm {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\beta }{2}}\cdot \mathrm {ctg} \,{\frac {\gamma }{2}},}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} \,\alpha \,\mathrm {ctg} \,\beta +\mathrm {ctg} \,\beta \,\mathrm {ctg} \,\gamma +\mathrm {ctg} \,\gamma \,\mathrm {ctg} \,\alpha =1.\,}$

Зауважимо, що наведені вище співвідношення справджуються, якщо ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }$ — кути деякого трикутника.

• Нехай

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma ={\frac {\pi }{2}},}$

тоді

${\displaystyle \mathrm {ctg} (\alpha )+\mathrm {ctg} (\beta )+\mathrm {ctg} (\gamma )=\mathrm {ctg} (\alpha )\,\mathrm {ctg} (\beta )\,\mathrm {ctg} (\gamma ).}$

• Нехай

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\theta =\pi ,}$

тоді

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\alpha )\sin(\alpha +\beta )&=\sin(\alpha +\beta )\sin(\beta +\gamma )\\&=\sin(\beta +\gamma )\sin(\gamma +\theta )\\&=\sin(\gamma +\theta )\sin(\theta +\alpha )\\&=\sin(\theta )\sin(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\gamma ).\end{aligned}}}$

Обернені тригонометричні функції

${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin(x),\quad \arccos(-x)=\pi -\arccos(x),\quad \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;}$

${\displaystyle \mathrm {arctg} (-x)=-\mathrm {arctg} (x),\quad \mathrm {arcctg} (-x)=\pi -\mathrm {arcctg} (x),\quad \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arcctg} (x)=\pi /2.\;}$

${\displaystyle \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&x>0,\\-\pi /2,&x<0.\end{matrix}}\right.}$

Зв'язок між оберненими тригонометричними функціями для x>0

	${\displaystyle \arccos }$	${\displaystyle \arcsin }$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,}$
${\displaystyle \arccos x=}$	${\displaystyle \arccos x}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arcsin x}$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \arcsin x=}$	${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos x}$	${\displaystyle \arcsin x}$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \mathrm {arctg} \,x=}$	${\displaystyle \arccos {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \arcsin {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,x}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,{\frac {1}{x}}}$
${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x=}$	${\displaystyle \arccos {\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \arcsin {\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \mathrm {arctg} \,{\frac {1}{x}}}$	${\displaystyle \mathrm {arcctg} \,x}$

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій

Поєднання тригонометричних та обернених їм функцій
${\displaystyle \sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,}$	${\displaystyle \mathrm {tg} [\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$
${\displaystyle \sin[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \mathrm {tg} [\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \cos[\mathrm {arctg} (x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}$	${\displaystyle \mathrm {ctg} [\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}}$
${\displaystyle \cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,}$	${\displaystyle \mathrm {ctg} [\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$

Додавання обернених тригонометричних функцій

Нехай ${\displaystyle x,y}$ такі, що ${\displaystyle |x|\leq 1,|y|\leq 1}$, тоді

${\displaystyle \arcsin(x)+\arcsin(y)=(-1)^{\varepsilon }\arcsin \left(x{\sqrt {1-y^{2}}}+y{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&xy\leq 0,\\\operatorname {sgn} x,&xy>0,\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \quad }$

${\displaystyle \arccos(x)+\arccos(y)=(-1)^{\varepsilon }\arccos \left(xy-{\sqrt {1-y^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{matrix}0,&x+y\geq 0,\\1,&x+y<0,\end{matrix}}\right.}$

${\displaystyle \quad }$

${\displaystyle \mathrm {arctg} (x)+\mathrm {arctg} (y)=\operatorname {arctg} \left({\frac {x+y}{1-xy}}\right)+\varepsilon \pi ,\quad \varepsilon =\left\{{\begin{array}{ll}-1,&xy<1,\\0,&xy=1,\\1,&xy>1.\end{array}}\right.}$

Розв'язок найпростіших тригонометричних рівнянь

Див. також: Тригонометричне рівняння

• ${\displaystyle \operatorname {sin} x=a}$.

Якщо ${\displaystyle |a|>1}$ — дійсних розв'язків не існує.

Якщо ${\displaystyle |a|\leq 1}$ — розв'язком є число виду ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }$.

• ${\displaystyle \operatorname {cos} x=a}$.

Якщо ${\displaystyle |a|>1}$ — розв'язків нема.

Якщо ${\displaystyle |a|\leq 1}$ — розв'язком є число виду ${\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n;n\in \mathbb {Z} }$.

• ${\displaystyle \operatorname {tg} x=a}$.

Розв'язком є число виду ${\displaystyle x=\operatorname {arctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }$.

• ${\displaystyle \operatorname {ctg} x=a}$.

Розв'язком є число виду ${\displaystyle x=\operatorname {arcctg} a+\pi n;n\in \mathbb {Z} }$.

Розв'язок найпростіших тригонометричних нерівностей

Вид нерівності	Множина розв'язків, ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$
${\displaystyle \sin x>a\quad (|a|\leqslant 1)}$	${\displaystyle x\in (\arcsin a+2\pi n,\,\pi -\arcsin a+2\pi n)}$
${\displaystyle \sin x<a\quad (|a|\leqslant 1)}$	${\displaystyle x\in (-\pi -\arcsin a+2\pi n,\,\arcsin a+2\pi n)}$
${\displaystyle \cos x>a\quad (|a|\leqslant 1)}$	${\displaystyle x\in (-\arccos a+2\pi n,\,\arccos a+2\pi n)}$
${\displaystyle \cos x<a\quad (|a|\leqslant 1)}$	${\displaystyle x\in (\arccos a+2\pi n,\,2\pi -\arccos a+2\pi n)}$
${\displaystyle \mathrm {tg} \,x>a}$	${\displaystyle x\in \left(\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,{\frac {\pi }{2}}+\pi n\right)}$
${\displaystyle \mathrm {tg} \,x<a}$	${\displaystyle x\in \left(-{\frac {\pi }{2}}+\pi n,\,\mathrm {arctg} \,a+\pi n\right)}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} \,x>a}$	${\displaystyle x\in (\pi n,\,\mathrm {arcctg} \,a+\pi n)}$
${\displaystyle \mathrm {ctg} \,x<a}$	${\displaystyle x\in (\mathrm {arctg} \,a+\pi n,\,\pi n)}$

Одна корисна нерівність

Для довільного ${\displaystyle x}$ з інтервалу ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ виконуються такі нерівності:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}|x|\leqslant |{\sin(x)}|\leqslant |x|.}$

Універсальна тригонометрична підстановка

Докладніше: Універсальна тригонометрична підстановка

Тотожності мають зміст лише тоді, коли існують обидві частини (тобто при ${\displaystyle \alpha \neq \pi +2\pi n}$).

• ${\displaystyle \operatorname {sin} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {cos} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \sec \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}};}$

• ${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}{2\operatorname {tg} \displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}},\qquad \csc \alpha ={\frac {1+\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{\displaystyle 2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}.}$

Допоміжний аргумент (метод Юніса)

${\displaystyle a\sin x\pm b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin \left(x\pm \arcsin {\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right),}$

${\displaystyle a\cos x\pm b\sin x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos \left(x\mp \arccos {\frac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right),}$

${\displaystyle b+a\mathrm {tg} (x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\cos x}},}$

${\displaystyle a+b\mathrm {ctg} (x)={\frac {{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\mathrm {arctg} (b/a))}{\sin x}}.}$

Перші дві формули можуть бути узагальненими

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin(x+\delta _{i})=a\sin(x+\delta ),}$

де

${\displaystyle a^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}a_{i}a_{j}\cos(\delta _{i}-\delta _{j}),\qquad \delta =\mathrm {arctg} \,{\frac {\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sin \delta _{i}}{\sum _{i=1}^{n}a_{i}\cos \delta _{i}}}.}$

Зв'язок з комплексною експонентою

${\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x),\,\,i^{2}=-1,}$ — формула Ейлера,

Експоненційне зображення тригонометричних функцій та обернених їм

Функція	Обернена функція
${\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,}$	${\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}$
${\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,}$	${\displaystyle \arccos x=i\,\ln \left(x-i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {tg} \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,}$
${\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}\right)\,}$
${\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left(\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\sqrt {1-\displaystyle {\frac {i}{x^{2}}}}}\right)\,}$
${\displaystyle \operatorname {ctg} \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,}$	${\displaystyle \operatorname {arcctg} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,}$

Числові співвідношення

${\displaystyle \sin ^{2}(18^{\circ })+\sin ^{2}(30^{\circ })=\sin ^{2}(36^{\circ }),\,}$

${\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}},}$

${\displaystyle \cos 36^{\circ }+\cos 108^{\circ }={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\\[10pt]&{}\qquad {}+\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)+\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\sin \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{2^{n-1}}},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\cos \left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {\sin(\pi n/2)}{2^{n-1}}},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{n}}\right)={\frac {n}{\sin(\pi n/2)}},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{m}\mathrm {tg} \,\left({\frac {k\pi }{2m+1}}\right)={\sqrt {2m+1}},}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n}\sin \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)=\prod _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\left(2k-1\right)\pi }{4n}}\right)={\frac {\sqrt {2}}{2^{n}}},}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{5}}-\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{239}},}$

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\mathrm {arctg} \,{\frac {1}{7}}+2\mathrm {arctg} \,{\frac {3}{79}}.}$

Різне

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right),}$

${\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{4}}-\alpha \right)=\cos \left({\frac {\pi }{4}}+\alpha \right),}$

${\displaystyle \mathrm {tg} \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }},}$

${\displaystyle 1\pm \operatorname {tg} \alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\cos \alpha }},}$

${\displaystyle 1\pm \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {{\sqrt {2}}\sin \left(\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\pm \alpha \right)}{\sin \alpha }},}$

${\displaystyle \mathrm {tg} (\alpha )+\sec(\alpha )=\operatorname {tg} \left({\alpha \over 2}+{\pi \over 4}\right).}$

${\displaystyle \mathrm {ctg} (\alpha )+\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2}}\right)=\csc(\alpha ),}$

${\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin 2\alpha }{\cos 2\alpha +1}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 5\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{5}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{5}}-\alpha \right).}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 7\alpha =\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {2\pi }{7}}-\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}+\alpha \right)\cdot \operatorname {tg} \left({\frac {3\pi }{7}}-\alpha \right).}$

${\displaystyle \cos(\alpha )+2\cos(2\alpha )+3\cos(3\alpha )+\cdots =\sum _{k=1}^{n}k\cos(k\alpha )={\frac {\displaystyle n\sin \left({\frac {\alpha }{2}}\right)\sin \left({\frac {(2n+1)\alpha }{2}}\right)-2\sin ^{2}\left({\frac {n\alpha }{2}}\right)}{\displaystyle 2\sin ^{2}\left({\frac {\alpha }{2}}\right)}}}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{2^{k}}}\operatorname {tg} \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {1}{2^{n}}}\operatorname {ctg} \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)-\operatorname {ctg} \alpha }$

${\displaystyle \cos(\alpha )\cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdots =\prod \limits _{n=0}^{\infty }\cos \left({\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2\alpha }}.}$

${\displaystyle \cos \left({\alpha \over 2}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 4}\right)\cdot \cos \left({\alpha \over 8}\right)\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\alpha \over 2^{n}}\right)={\sin \alpha \over \alpha }}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left(2^{k}\alpha \right)={\frac {\sin \left(2^{n+1}\alpha \right)}{2^{n+1}\sin \alpha }}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=0}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin 2\alpha }{2^{n+1}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.}$

${\displaystyle \prod \limits _{k=1}^{n}\cos \left({\frac {\alpha }{2^{k}}}\right)={\frac {\sin \alpha }{2^{n}\sin \left(\displaystyle {\frac {\alpha }{2^{n}}}\right)}}.}$

${\displaystyle |{\sin x}|={\frac {1}{2}}\prod _{n=0}^{\infty }{\sqrt[{2^{n+1}}]{\left|\operatorname {tg} \left(2^{n}x\right)\right|}}.}$

Див. також

• Тригонометричні функції
• Таблиця інтегралів тригонометричних функцій
• Обернені тригонометричні функції
• Універсальна тригонометрична підстановка
• Екзотичні тригонометричні функції

Література

• Абрамовиц М., Стиган И. Справочник по специальным функциям. — Москва : Наука, 1979. — 832 с.

• Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва : Физматгиз, 1963. — 1100 с.