Інтегрування з заміною змінної

Інтегрування з заміною змінної — спосіб знаходження інтеграла, що є аналогом знаходження похідної складеної функції в диференціальному численні.

Для визначеного інтеграла

Якщо ${\displaystyle g:[a,b]\to I}$ — диференційовна функція з неперервною похідною, де ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ — інтервал; а також ${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$ — неперервна функція. Тоді:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}$

Для нової змінної ${\displaystyle u=g(x)}$ обчислимо похідну:

${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x)}$.

Тоді новим диференціалом буде:

${\displaystyle du=g'(x)\,dx}$.

Приклади

Приклад 1

Обчислити ${\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$

Введемо нову змінну ${\displaystyle u=2x^{3}+1.}$ Тоді ${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2}}$ та ${\displaystyle du=6x^{2}\,dx.}$ Це значно спрощує інтеграл:

${\displaystyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,}$

де ${\displaystyle C}$ довільна стала інтегрування.

Приклад 2

Обчислити ${\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx}$. Введемо нову змінну ${\displaystyle u=x^{2}+1}$ і отримаємо ${\displaystyle du=2x\ dx}$ чи ${\displaystyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du}$. Тому:

${\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,}$

де ${\displaystyle C}$ довільна стала інтегрування.

Приклад 3: Первісні тангенса і котангенса

Знайти первісну функції ${\displaystyle \operatorname {tg} x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}}$.

Введемо нову змінну ${\displaystyle u=\cos x}$, обчислимо її диференціал ${\displaystyle du=-\sin x\,dx}$ і отримаємо:

${\displaystyle \int \operatorname {tg} x\,dx=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx=\int -{\frac {du}{u}}=-\ln \left|u\right|+C=-\ln \left|\cos x\right|+C.}$

Аналогічно знайдемо первісну ${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}}$.

Введемо нову змінну ${\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx}$:

${\displaystyle \int \cot x\,dx=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx=\int {\frac {du}{u}}=\ln \left|u\right|+C=\ln \left|\sin x\right|+C.}$

Приклад 4: Визначений інтеграл

Обчислити

${\displaystyle \int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx}$.

Введемо нову змінну ${\displaystyle u=x^{2}+1}$, обчислимо ${\displaystyle du=2x\ dx}$, тобто ${\displaystyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$ Тоді:

${\displaystyle \int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)={\sqrt {5}}-1.}$

Оскільки нижню межу ${\displaystyle x=0}$ замінили на ${\displaystyle u=1,}$ а верхню ${\displaystyle x=2}$ на ${\displaystyle 2^{2}+1=5,}$ то зворотня заміна на ${\displaystyle x}$ непотрібна.

Див. також

• Підстановка тангенса півкута

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1100+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)