Інтерполяційна формула Гаусса

Інтерполяційна формула Гаусса — формула, що використовує як вузли інтерполяції найближчі до точки інтерполювання ${\displaystyle x}$ вузли. Будується за допомогою інтерполяційної формули Ньютона.

Нехай необхідно інтерполювати певну функцію ${\displaystyle f}$. Якщо ${\displaystyle x=x_{0}+th}$, де ${\displaystyle x_{0}}$ - деяка початкова точка, ${\displaystyle h>0}$, то формулу

${\displaystyle G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t-1) \over 2!}+\ldots +f_{1/2}^{2n-1}{\frac {t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}]}{(2n-1)!}}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t-n) \over (2n)!},}$

написану за вузлами ${\displaystyle x_{0},~x_{0}+h,~x_{0}-h,\ldots ,~x_{0}+nh,~x_{0}-nh}$ називають формулою Гаусса для інтерполювання вперед, а формулу

${\displaystyle G_{2n}(x_{0}+th)=f_{0}+f_{-1/2}^{1}t+f_{0}^{2}{t(t+1) \over 2!}+\ldots +f_{-1/2}^{2n-1}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}] \over (2n-1)!}+f_{0}^{2n}{t(t^{2}-1)\ldots [t^{2}-(n-1)^{2}](t+n) \over (2n)!},}$

написану за вузлами ${\displaystyle x_{0},~x_{0}-h,~x_{0}+h,\ldots ,~x_{0}-nh,~x_{0}+nh}$ називають формулою Гаусса для інтерполювання назад.

В обох формулах використано скінченні різниці, які визначають так:

${\displaystyle f_{i}=f(x_{i}),\;f_{i+1/2}^{1}=f_{i+1}-f_{i},\;f_{i}^{m}=f_{i+1/2}^{m-1}-f_{i-1/2}^{m-1}}$

Перевага інтерполяційної формули Гаусса в тому, що зазначений вибір вузлів інтерполяції забезпечує найкращу оцінку залишкового члена, порівняно з будь-яким іншим вибором, а впорядкованість вузлів у міру їхньої близькості до точки інтерполяції зменшує обчислювальну похибку інтерполювання.

Джерела

• Гаврилюк І.П., Макаров В.Л. Методи обчислень. Частина 1. — К. : Вища школа, 1995. — 367 с. — ISBN 5-11-004111-2.(укр.)
• М. Я. Лященко, М. С. Головань. Чисельні методи: Підручник. — К.: : Либідь, 1996. — 288 с.(укр.)
• Цегелик Г. Г. Чисельні методи. — Львів : ЛНУ, 2004. — 407 с.(укр.)