Істотно особлива точка

Істотно особливою точкою аналітичної функції називається ізольована особлива точка ${\displaystyle z_{0}}$ комплексної площини, в якій не існує ані кінцевої, ані нескінченної границі при ${\displaystyle z\to z_{0}}$ для функції, однозначної та аналітичної в деякому проколотому околі цієї точки. Приклади: точка z = 0 є істотно особливою точкою для функцій ${\displaystyle e^{\frac {1}{z}},z\sin {\frac {1}{z}},\cos {\frac {1}{z}}+\ln(1+z)}$ тощо. В околі істотно особливої точки ${\displaystyle z_{0}}$ функція ${\displaystyle f(z)}$ може бути розкладена в ряд Лорана

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}(z-z_{0})^{-n}}$,

Графік функції exp(1/z), довкола істотно особливої точки z=0. Колір показує комплексний аргумент, яскравість представляє абсолютну величину. Графік показує, як при наближенні до істотно особливої точки з різних напрямків отримуємо різну поведінку (на відміну від полюсу, оточеного однорідно білим

причому серед коефіцієнтів головної частини ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},...}$ нескінченно багато відмінних від нуля. Ця властивість часто використовується для визначення істотно особливої точки.

Про поведінку функції в околі істотно особливої точки дозволяє судити теорема Сохоцького — Веєрштрасса. Узагальненням цієї теореми служить велика теорема Пікара: у всякому околі істотно особливої точки аналітична функція приймає будь-яке комплексне значення, крім, можливо, одного. Остання теорема, у свою чергу, має низку узагальнень і уточнень.

У деяких відділах теорії аналітичних функцій під істотно особливою точкою розуміють також особливі точки складнішої природи.

Джерела

• Привалов І.І.(інші мови). Вступ до теорії функцій комплексного змінного. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 381 с.(укр.)
• Соколов Ю.Д. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1954. — 202 с.(укр.)
• Давидов М.О. Елементи теорії функцій комплексної змінної. — К.: : Радянська школа, 1968. — 212 с.(укр.)
• Грищенко О.Ю., Нагнибіда М.І., Настасієв П.П. Теорія функцій комплексної змінної. — К.: : Вища школа, 1994. — 375 с.(укр.)
• Мельник Т.А. (2015). Комплексний аналіз : підручник (PDF). Київ: ВПЦ "Київський університет". с. 192. ISBN 978-966-439-800-5.(укр.)
• Неванлинна Р., Однозначные аналитические функции, пер. с нем., М.- Л., 1941.