Адитивна теорія чисел

Адитивна теорія чисел — розділ теорії чисел, що виник під час вивчення задач про розкладання цілих чисел на складові заданого вигляду^[1] (наприклад, на прості числа, фігурні числа, ${\displaystyle n-}$і степені тощо).

Серед класичних проблем, дослідження яких заклало фундамент адитивної теорії чисел, можна назвати такі:

• Задача про подання числа сумою чотирьох квадратів та її узагальнення: теорема Ферма про багатокутні числа.
• Задача про подання простого числа у вигляді суми двох квадратів.
• Проблема Гольдбаха.
• Проблема Воринга.
• Гіпотези Поллока.

Сучасна адитивна теорія чисел включає широке коло задач дослідження абелевих груп і комутативних напівгруп з операцією додавання^[2]. Адитивна теорія чисел тісно пов'язана з комбінаторною теорією чисел (особливо з адитивною комбінаторикою)^[3] і з геометрією чисел, у ній застосовуються аналітичні, алгебричні й імовірнісні методи. В залежності від методів розв'язування, адитивні задачі входять складовою частиною в інші розділи теорії чисел — аналітичну теорію чисел, теорію алгебричних чисел, ймовірнісну теорію чисел^[en].

Історія

Перші систематичні результати в адитивній теорії чисел отримав Леонард Ейлер, який опублікував у 1748 році дослідження (за допомогою степеневих рядів) розкладання натуральних чисел на натуральні доданки; зокрема, він розглянув задачу про розкладання числа на задану кількість доданків і довів теорему про п'ятикутні числа^[en][4]. У цей же період виникли дві класичні проблеми адитивного типу: проблема Гольдбаха і проблема Воринга, надалі з'явилися десятки нових проблем. Їх вирішення ускладнюється тим, що у формулюваннях одночасно беруть участь кілька базових операцій над натуральними числами — ділення, за допомогою якого визначаються прості числа, множення, яке формує квадрати, куби тощо і додавання.

Для багатьох із цих проблем виявилися корисними такі загальні інструменти, як коловий метод Гарді – Літтлвуда, метод решета^[en][5] та метод тригонометричних сум В. М. Виноградова. Гільберт довів^[6], що для будь-якого цілого числа ${\displaystyle k>1}$ будь-яке натуральне число є сумою обмеженого числа доданків у степені ${\displaystyle k}$. Лев Шнірельман у 1930 році ввів поняття щільності послідовності натуральних чисел, що дозволило істотно просунутися у вирішенні проблеми Гольдбаха і довести узагальнену теорему Воринга^[7].

Григорій Фрейман 1964 року довів важливу теорему^[en] з галузі адитивної комбінаторики.

Сучасний стан

Підмножина ${\displaystyle B}$ називається (асимптотичним) адитивним базисом^[en][8] скінченного порядку ${\displaystyle h}$, якщо будь-яке досить велике натуральне число ${\displaystyle n}$ можна записати як суму не більше ніж ${\displaystyle h}$ елементів ${\displaystyle B}$. Наприклад, натуральні числа самі є адитивним базисом порядку 1, оскільки кожне натуральне число тривіально є сумою не більше ніж одного натурального числа. Менш тривіальна теорема Лагранжа про суму чотирьох квадратів, яка показала, що множина квадратних чисел є адитивним базисом четвертого порядку. Інший вельми нетривіальний і широко відомий результат у цьому напрямку — теорема Виноградова^[en] про те, що будь-яке досить велике непарне натуральне число можна подати як суму трьох простих чисел^[9].

Багато сучасних досліджень у цій галузі стосуються загальних властивостей асимптотичних базисів скінченного порядку. Наприклад, множина ${\displaystyle A}$ називається мінімальним асимптотичних базисом порядку ${\displaystyle h,}$ якщо ${\displaystyle A}$ є асимптотичним базисом порядку ${\displaystyle h}$, але ніяка власна підмножина ${\displaystyle A}$ не є асимптотичним базисом порядку ${\displaystyle h}$. Доведено^[10], що мінімальні асимптотичні базиси порядку ${\displaystyle h}$ існують для будь-якого ${\displaystyle h}$, а також існують асимптотичні базиси порядку ${\displaystyle h}$, що не містять мінімальних асимптотичних базисів порядку ${\displaystyle h}$.

Розглядається також проблема — наскільки можна зменшити кількість подань ${\displaystyle n}$ у вигляді суми ${\displaystyle h}$ елементів асимптотичного базису. Цьому присвячена досі не доведена гіпотеза Ердеша — Турана^[en] (1941)^[11].

Див. також

• Композиція числа
• Мультиплікативна теорія чисел^[en]
• Розбиття числа