Антисиметричний тензор

Тензор називається антисиметричним за двома індексами i та j, якщо він змінює знак при перестановці цих індексів:

${\displaystyle T_{ijk\dots }=-T_{jik\dots }}$

Якщо тензор змінює знак при перестановці будь-якої пари індексів то такий тензор називається абсолютно антисиметричним тензором.

Для будь-якого тензора U, з компонентами ${\displaystyle U_{ijk\dots }}$, можна побудувати симетричний і антисиметричний тензор за правилом:

${\displaystyle U_{(ij)k\dots }=(1/2)(U_{ijk\dots }+U_{jik\dots })}$ (симетрична частина),

${\displaystyle U_{[ij]k\dots }=(1/2)(U_{ijk\dots }-U_{jik\dots })}$ (антисиметрична частина),

аналогічно для інших індексів.

Під терміном «частина» йдеться про те, що ${\displaystyle U_{ijk\dots }=U_{(ij)k\dots }+U_{[ij]k\dots }}$

Властивості

Згортка тензора A, що є антисиметричним за індексами i і j з тензором B, що є симетричним за індексами i та j, рівна нулю. Доведення:

${\displaystyle A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=A_{(ji)k\dots }B_{[ji]k\dots }=-A_{(ij)k\dots }B_{[ij]k\dots }=0.}$

Важливий антисиметричний тензор у фізиці — тензор електромагнітного поля F.

Див. також

• Символ Леві-Чивіти
• Кососиметрична матриця
• Диференціальна форма