Асимптотично паралельні прямі

У нейтральній або абсолютній геометрії і у гіперболічній геометрії може бути багато прямих, які паралельні даній прямій ${\displaystyle R}$ і таких, що проходять через точку ${\displaystyle P}$ за межами цієї прямої. Однак дві паралельні можуть бути ближчими до ${\displaystyle R}$, ніж інші прямі (по одній з кожної сторони).

Дві прямі, що проходять через задану точку P, асимптотично паралельні прямій R.

У цьому випадку можна дати інше визначення паралельності для нейтральної геометрії. Якщо є дуже близькі паралельні до даної прямої, їх називають асимптотично паралельними або паралельними до межі.

Для променів відношення асимптотичної паралельності є відношенням еквівалентності, яке включає термінальне відношення еквівалентності.

Асимптотичні паралельні можуть утворювати дві або три сторони асимптотичного трикутника.

Визначення

Промінь Aa є асимптотично паралельним променю Bb, що записується як ${\displaystyle Aa|||Bb}$

Промінь ${\displaystyle Aa}$ є асимптотично паралельним променю ${\displaystyle Bb}$, якщо вони котермінальні або якщо вони лежать на різних прямих, не рівних прямій ${\displaystyle AB}$, не перетинаються і будь-який промінь усередині кута ${\displaystyle BAa}$ перетинає промінь ${\displaystyle Bb}$^[1].

Властивості

Різні прямі, що містять асимптотичні паралельні промені, що не перетинаються.

Доведення

Припустимо, що прямі, які містять різні паралельні промені, перетинаються. За визначенням вони не можуть перетнутися на стороні ${\displaystyle AB}$, в якій знаходиться промінь ${\displaystyle a}$. Тоді вони повинні перетинатися на стороні ${\displaystyle AB}$, яка є протилежною променю ${\displaystyle a}$, позначивши цю точку ${\displaystyle C}$. Тоді (тут P = прямий кут) ${\displaystyle \angle CAB+\angle CBA<2P\Rightarrow \angle aAB+\angle bBA>2P}$. Суперечність.

Див. також

• Орицикл
• Кут паралельності