Безмежно подільний розподіл

Безмежно подільний розподіл у теорії імовірностей це розподіл випадкової величини, такої, що вона може бути представлена у виді довільної скінченої кількості незалежних однаково розподілених доданків.

Означення

Випадкова величина ${\displaystyle Y}$ називається безмежно подільною, якщо для будь-якого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ вона може бути представлена у виді

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}}$,

де ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}}$ - незалежні, однаково розподілені випадкові величини.

Властивості безмежно подільних розподілів

• Характеристична функція ${\displaystyle \phi _{Y}(t)}$ безмежно подільної випадкової величини ${\displaystyle Y}$ має вид:

${\displaystyle \phi _{Y}(t)=\phi _{X_{1}^{(n)}}^{n}(t)}$.

Канонічні представлення безмежно подільних розподілів

Формула Колмогорова

Нехай ${\displaystyle \phi (t)}$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, який має скінченну дисперсію. Тоді існує неспадна функція ${\displaystyle K:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, така що ${\displaystyle \lim \limits _{u\to -\infty }K(u)=0}$, і

${\displaystyle \ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itu}-1-iut}{u^{2}}}\,dK(u)}$,

де інтеграл розуміється в смислі Лебега - Стилтьеса.

Формула Леві - Хінчина

Нехай ${\displaystyle \phi (t)}$ - характеристична функція безмежно подільного розподілу на ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тоді існує неспадна функція обмеженої варіації ${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, така що

${\displaystyle \ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)}$

Приклади

• Такі розподіли безмежно подільні: розподіл Коші, розподіл Пуассона, нормальний розподіл, гама розподіл.

• Нехай задано ймовірнісний простір ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)}$, де

${\displaystyle m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$

для деякого ${\displaystyle \lambda >0}$. Тоді випадкова величина ${\displaystyle X:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$, що має вид

${\displaystyle X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N} }$

не є безмежно подільною.

Безмежно подільний розподіл на локально компактних абелевих групах

Розподіл ${\displaystyle \mu }$ на локально компактній абелевій групі ${\displaystyle X}$ називається безмежно подільним, якщо для кожного натурального ${\displaystyle n}$ існує елемент ${\displaystyle x_{n}\in X}$ і розподіл ${\displaystyle \mu _{n}}$ на ${\displaystyle X}$ такий, що ${\displaystyle \mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}}$, де ${\displaystyle E_{x_{n}}}$ --- вироджений розподіл, зосереджений в ${\displaystyle x_{n}}$ (див. ^[1], ^[2]).

Прикладами безмежно подільних розподілів на локально компактних абелевих групах є вироджені розподіли, зсуви розподілів Хаара компактних підгруп, узагальнені розподіли Пуассона.