Бікомплексні числа

Бікомплексні числа — чотиривимірні гіперкомплексні числа виду ${\displaystyle \ a+bi_{1}+ci_{2}+dj,}$ де

${\displaystyle \ a,b,c,d}$ — дійсні числа,

${\displaystyle \ i_{1},i_{2},j}$ — уявні одиниці.

таблиця множення

	i1	i2	j
i1	−1	j	−i2
i2	j	−1	-i1
j	−i2	-i1	1

для яких

${\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=-1,\qquad j=i_{1}i_{2}}$.

Використавши комутативність, отримаємо

${\displaystyle \ j^{2}=(i_{1}i_{2})^{2}=i_{1}^{2}i_{2}^{2}=+1}$

та

${\displaystyle \ i_{1}j=ji_{1}=-i_{2},}$

${\displaystyle \ i_{2}j=ji_{2}=-i_{1}.}$

Бікомплексне число можна записати у вигляді ${\displaystyle \ (a+bi_{1})+(c+di_{1})i_{2}=A+Bi_{2},}$ де

${\displaystyle \ A,B}$— комплексні числа.

Історія

Насправді ж навпаки, в 1892 бікомплексні числа визначили за допомогою подвоєння комплексних чисел (замінивши їх дійсні частини на комплексні). Але на відміну від кватерніонів, вимагали збереження комутативності множення.

Хоча, дещо раніше в 1848, описали схожу алгебру тессарінів, вимагаючи тільки: комутативність, ${\displaystyle i^{2}=-1,\;\;j^{2}=+1}$.

Бікомплексні числа утворюють комутативне кільце, тобто, множення є асоціативним, комутативним та дистрибутивним відносно додавання.

Але не є тілом чи полем, оскільки мають дільники нуля.

Арифметичні операції

• ${\displaystyle \ (A+Bi_{2})(C+Di_{2})=(AC-BD)+(AD+BC)i_{2}}$

Діагональний базис

В бікомплексних числах, як і в подвійних числах, присутня уявна одиниця ${\displaystyle \ j^{2}=+1,}$ отже, також існують два ортогональні ідемпотентні елементи:

${\displaystyle e_{1}={1+j \over 2},\quad e_{2}={1-j \over 2}\qquad \Rightarrow \qquad {\begin{cases}e_{1}e_{1}=e_{1}\\e_{2}e_{2}=e_{2}\\e_{1}e_{2}=0\end{cases}},}$

які можна використати як альтернативний базис. Бікомплексні числа переводяться в діагональний базис так:

${\displaystyle \ A+Bi_{2}=(A-Bi_{1})e_{1}+(A+Bi_{1})e_{2}={\Big (}a+d+(b-c)i_{1}{\Big )}e_{1}\;+\;{\Big (}a-d+(b+c)i_{1}{\Big )}e_{2}={\tilde {A}}e_{1}+{\tilde {B}}e_{2}}$

У даному базисі додавання, множення та ділення обчислюються покомпонентно. Ділення не визначене коли ${\displaystyle {\tilde {A}}}$ чи ${\displaystyle {\tilde {B}}}$ рівні нулю.

Див. також

• тессаріни

Джерела

• Кантор И. Л.(інші мови), Солодовников А. С.. Гиперкомплексные числа. — Москва : Наука, 1973. — 144 с.(рос.)