Вершина кривої

В геометрії кривих, вершина — це точка, в якої перша похідна кривини дорівнює нулю.^[1] Як правило, це локальний максимум або мінімум кривини,^[2] і деякі автори визначають вершину як екстремальну точку кривини.^[3] Однак, тут можуть виникнути спеціальні випадки, наприклад, коли друга похідна теж дорівнює нулю або коли кривина постійна.

Еліпс (червоний) та його еволюта (синя). Точки є вершинами кривої та кожна з них відповідає вістрю еволюти.

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Вершина.

Приклади

Гіпербола має дві вершини, на кожній гілці — одну. Ці вершини мають найменшу відстань поміж двома точками на гіперболі та лежать на головній осі. На параболі всього одна вершина, і вона лежить на осі симетрії.^[2] В еліпса чотири вершини, дві з них лежать на великій осі та дві на малій.^[4]

На колі, оскільки воно має сталу кривину, будь-яка точка є вершиною.

Точки перегину и дотику

Вершини — це точки, де крива має дотик порядку 3 зі стичним колом в цій точці.^[5][6] Звичайно точки на кривій мають зі стичним колом дотик другого порядку. Еволюта кривої звичайно має касп, якщо крива має вершину^[6]. Бувають й інші особливі точки в вершинах великого порядку, в яких порядок дотику зі стичним колом більше трьох.^[5] Хоча звичайно крива не має вершин високого порядку, у сімействах кривих дві звичайні вершини можуть злитися в вершину великого порядку, а потім зникнути.

Множина симетрії^[en] кривої має кінці в каспах, що відповідають вершинам, а срединна вісь, підмножина множини симетрії, також має кінці в каспах.

Інші властивості

Згідно з теоремою про чотири вершини будь-яка проста замкнена пласка крива повинна мати щонайменше чотири вершини.^[7] Більш загальне твердження, що будь-яка проста замкнена крива у просторі розташована на опуклій поверхні, або обмежує локально опуклий диск, має чотири вершини^[8][9].

Якщо крива дзеркально симетрична, вона має вершину в точці перетину осі симетрії з кривою. Таким чином, поняття вершини кривої тісно пов'язано з оптичними точками, точками, в яких оптична вісь перетинає поверхню лінзи.