Екстремум

Екстре́мум — найбільше або найменше значення функції на заданій множині.

Розрізняють:

• лока́льний — екстремум у певному довільно малому околі даної точки;
• глоба́льний — екстремум в усій розглядуваній області значень функцій.

Задачі знаходження екстремуму виникають у всіх галузях людського знання:

теорії автоматичного керування, економіці, біології, фізиці тощо.^[1]

Визначення

Нехай дано функцію ${\displaystyle f:M\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,}$ і ${\displaystyle x_{0}\in M^{0}}$ — внутрішня точка області визначення ${\displaystyle f.}$ Тоді

• ${\displaystyle x_{0}}$ називається точкою локального максимуму функції ${\displaystyle f,}$ якщо існує проколотий окіл ${\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}$ такий, що

  ${\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\leqslant f(x_{0});}$

• ${\displaystyle x_{0}}$ називається точкою локального мінімуму функції ${\displaystyle f,}$ якщо існує проколотий окіл ${\displaystyle {\dot {U}}(x_{0})}$ такий, що

  ${\displaystyle \forall x\in {\dot {U}}(x_{0})\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).}$

• ${\displaystyle x_{0}}$ називається точкою глобального (абсолютного) максимуму, якщо

  ${\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\leqslant f(x_{0});}$

• ${\displaystyle x_{0}}$ називається точкою глобального (абсолютного) мінімуму, якщо

  ${\displaystyle \forall x\in M\quad f(x)\geqslant f(x_{0}).}$

Якщо нерівності вище строгі, то ${\displaystyle x_{0}}$ називається точкою строгого локального або глобального максимуму або мінімуму відповідно.

Значення функції ${\displaystyle f(x_{0})}$ називають відповідно (строгим) локальним або глобальним максимумом або мінімумом. Точки, які є точками (локального) максимуму або мінімуму, називають точками (локального) екстремуму.

Зауваження

Функція ${\displaystyle f,}$ визначена на множині ${\displaystyle M,}$ може не мати на ньому жодного локального або глобального екстремуму. Наприклад, ${\displaystyle f(x)=x,\;x\in (-1,1).}$

Необхідні умови існування локальних екстремумів

З леми Ферма випливає таке^[2]:

Нехай точка ${\displaystyle x_{0}}$ є точкою екстремуму функції ${\displaystyle f}$, визначеної в деякому околі точки ${\displaystyle x_{0}}$.

Тоді або похідна ${\displaystyle f'(x_{0})}$ не існує, або ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$.

Ці умови не є достатніми, так, функція може мати нуль похідної в точці, але ця точка може не бути точкою екстремуму, а бути, скажімо, точкою перегину, як точка (0,0) у функції ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$.

Достатні умови існування локальних екстремумів

• Нехай функція ${\displaystyle f\in C(x_{0})}$ неперервна в ${\displaystyle x_{0}\in M^{0},}$ і існують скінченні або нескінченні односторонні похідні ${\displaystyle f'_{+}(x_{0}),f'_{-}(x_{0})}$. Тоді за умови

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})<0,\;f'_{-}(x_{0})>0}$

${\displaystyle x_{0}}$ є точкою строгого локального максимуму. А якщо

${\displaystyle f'_{+}(x_{0})>0,\;f'_{-}(x_{0})<0,}$

то ${\displaystyle x_{0}}$ є точкою строгого локального мінімуму.

Зауважимо, що при цьому функція не обов'язково диференційовна в точці ${\displaystyle x_{0}}$.

• Нехай функція ${\displaystyle f}$ неперервна і двічі диференційовна в точці ${\displaystyle x_{0}}$. Тоді за умови

${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ і ${\displaystyle f''(x_{0})<0}$

${\displaystyle x_{0}}$ є точкою локального максимуму. А якщо

${\displaystyle f'(x_{0})=0}$ і ${\displaystyle f''(x_{0})>0}$

то ${\displaystyle x_{0}}$ є точкою локального мінімуму.

• Нехай функція ${\displaystyle f}$ диференційовна ${\displaystyle n}$ разів у точці ${\displaystyle x_{0}}$ і ${\displaystyle f'(x_{0})=f''(x_{0})=\dots =f^{(n-1)}(x_{0})=0}$, а ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})\neq 0}$.

Якщо ${\displaystyle n}$ парне і ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})<0}$, то ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального максимуму. Якщо ${\displaystyle n}$ — парне і ${\displaystyle f^{(n)}(x_{0})>0}$, то ${\displaystyle x_{0}}$ — точка локального мінімуму. Якщо ${\displaystyle n}$ — непарне, то екстремуму немає.

Теорема Ферма

Докладніше: Теорема Ферма

Нехай ${\displaystyle x_{0}}$ — точка екстремуму функції ${\displaystyle f\colon D\to R}$. Якщо ${\displaystyle x_{0}}$ — внутрішня точка для ${\displaystyle D}$ і ${\displaystyle f(x)}$ — диференційовна в точці ${\displaystyle x_{0}~(\exists f'(x_{0}))}$, то ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$.

Теорема Ролля

Докладніше: Теорема Ролля

Якщо ${\displaystyle f\colon [a;b]\to R}$ неперервна на ${\displaystyle [a;b]}$, диференційовна на ${\displaystyle (a;b)}$ і ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, то ${\displaystyle \exists \xi \in (a;b):~f'(\xi )=0}$

Див. також

• Критична точка
• Задача оптимізації
• Похідна
• Умовний екстремум