Визначена матриця

Не плутати з Додатна матриця та Цілком додатна матриця.

Визначена матриця — властивість дійсних симетричних матриць та комплексних ермітових матриць, пов'язана з властивістю квадратичної форми яку вона описує.

Означення

У означеннях матриця ${\displaystyle M}$ є дійсною симетричною матрицею або комплексною ермітовою матрицею.

Тип	Назва	Переклад назви	Для симетричної матриці	Для ермітової матриці
${\displaystyle \succ 0}$	Додатно визначена	англ. positive-definite	${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} >0\quad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$	${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} >0\quad \forall \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$
${\displaystyle \prec 0}$	Від'ємно визначена	англ. negative-definite	${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} <0\quad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$	${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} <0\quad \forall \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{\mathbf {0} \}}$
${\displaystyle \succeq 0}$	Невід'ємно визначена (Додатно напіввизначена)	англ. positive semi-definite англ. non-negative-definite	${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \geq 0\quad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$	${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \geq 0\quad \forall \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$
${\displaystyle \preceq 0}$	Недодатно визначена (Від'ємно напіввизначена)	англ. negative semi-definite англ. non-positive-definite	${\displaystyle \mathbf {x} ^{\top }M\mathbf {x} \leq 0\quad \forall \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}}$	${\displaystyle \mathbf {z} ^{*}M\mathbf {z} \leq 0\quad \forall \mathbf {z} \in \mathbb {C} ^{n}}$

Властивості

У симетричних матриць та ермітових матриць всі власні числа є дійсними. Тобто, вони конгруентні з діагональною матрицею з дійсними елементами. Власні числа діагональної матриці розташовані на її головній діагоналі.

• Тому всі власні числа визначеної матриці є одного знаку відповідно до її типу. У невизначених матриць власні числа можуть бути різних знаків.

• З огляду на простоту оперування діагональними матрицями, де всі операції відбуваються поелементно, можна означити багато елементарних функції для матриць (степеневу, показникову).

• Зокрема для матриць типу ${\displaystyle \succ 0}$ можна означити корінь та логарифм.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)