Власні елементи орбіти

Власні елементи орбіти — параметри, що характеризують орбіту небесного тіла під час його руху під впливом збурень. Власні елементи практично не змінюються з часом, на відміну від оскулюючих елементів, які непостійні і в кожний момент часу визначаються як звичайні елементи орбіти у припущенні, що збурення відсутні. Отже, власні елементи є безпосередніми характеристиками орбіти тіла, не зміненими зовнішніми чинниками.

Опис

Розподіл різниці між оскулюючим та власним ексцентриситетом (вгорі) та нахилом орбіти (внизу) для астероїдів з великою піввіссю орбіти 2-4 а.о.

Оскулюючі елементи

В задачі двох тіл орбіта небесного тіла має форму конічного перетину, а форма орбити, її положення в просторі і положення тіла на ній однозначно задаються шістьма параметрами, які називаються елементами орбіти. Один з можливих наборів елементів, який буде використовуватись далі — велика піввісь ${\displaystyle a}$, ексцентриситет ${\displaystyle e}$, нахил ${\displaystyle I}$, довгота висхідного вузла ${\displaystyle \Omega }$, довгота перицентру ${\displaystyle \varpi }$ і середня довгота ${\displaystyle \lambda }$^{[ком. 1][2][3][4]}.

Однак за наявності більш ніж двох тіл у системі взаємодія між ними призводить до того, що орбіти тіл вже не можна описати в такий спосіб. Однак на практиці, наприклад, у Сонячній системі орбіти планет не надто відрізняються від конічних перетинів, і їх можна описати звичайними елементами орбіти, однак у цьому випадку вони змінюються з часом. Для кожного моменту часу елементи орбіти, які б точно описували рух тіла, якби в цей момент всі збурення зникли, називаються оскулюючими елементами орбіти^[3].

Функція збурення

Функція збурення — це потенціал гравітаційного взаємодії з іншими тілами системи, крім центрального^{[ком. 2][6]}. Від неї залежить зміна оскулюючих елементів з часом: цей зв'язок виражається за допомогою планетних рівнянь Лагранжа^[7].

Для оцінки того, як змінюються елементи орбіти з часом, можна уявити систему з масивним центральним тілом та двома тілами значно меншої маси. Тоді можна розглянути, як рухатиметься тіло дуже малої маси — пробна частинка — у полі тяжіння центрального тіла, з урахуванням збурень від двох інших тіл. Функцію збурення для пробної частинки можна приблизно виразити через елементи орбіт^{[ком. 3][8]}:

${\displaystyle R=na^{2}\left[{\frac {1}{2}}Ae^{2}+{\frac {1}{2}}BI^{2}+\sum _{j=1}^{2}A_{j}ee_{j}\cos(\varpi -\varpi _{j})+\sum _{j=1}^{2}B_{j}II_{j}\cos(\Omega -\Omega _{j})\right],}$

де ${\displaystyle n}$ — середній рух (середня кутова швидкість руху по орбіті)^[9], елементи орбіти без індексів відносяться до пробної частинки, з індексами — до збурюючих тіл. Значення ${\displaystyle A,A_{j},B,B_{j}}$ наведені нижче^[10]:

${\displaystyle A=n{\frac {1}{4}}\sum _{j=1}^{2}{\frac {m_{j}}{m_{c}}}\alpha _{j}{\bar {\alpha }}_{j}b_{3/2}^{(1)}(\alpha _{j}),}$

${\displaystyle A_{j}=-n{\frac {1}{4}}{\frac {m_{j}}{m_{c}}}\alpha _{j}{\bar {\alpha }}_{j}b_{3/2}^{(2)}(\alpha _{j}),}$

${\displaystyle B=-n{\frac {1}{4}}\sum _{j=1}^{2}{\frac {m_{j}}{m_{c}}}\alpha _{j}{\bar {\alpha }}_{j}b_{3/2}^{(1)}(\alpha _{j}),}$

${\displaystyle B_{j}=n{\frac {1}{4}}{\frac {m_{j}}{m_{c}}}\alpha _{j}{\bar {\alpha }}_{j}b_{3/2}^{(1)}(\alpha _{j}).}$

У даних формулах ${\displaystyle m_{j},m_{c}}$ — маси, відповідно, збурюючого тіла з індексом ${\displaystyle j}$ та центрального тіла. ${\displaystyle b_{s}^{(j)}(\alpha )}$ — коефіцієнти Лапласа, визначені наступним чином^[11]:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}b_{s}^{(j)}(\alpha )={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\cos j\psi d\psi }{(1-2\alpha \cos \psi +\alpha ^{2})^{s}}}.}$

Символи ${\displaystyle \alpha _{j},{\bar {\alpha }}_{j}}$ означають^[10]:

${\displaystyle \alpha _{j}={\begin{cases}a_{j}<a:a_{j}/a\\a_{j}>a:a/a_{j}\\\end{cases}},}$

${\displaystyle {\bar {\alpha }}_{j}={\begin{cases}a_{j}<a:1\\a_{j}>a:a/a_{j}\\\end{cases}}.}$

Далі проводиться перехід від елементів орбіти до наступних коефіцієнтів, через які планетні рівняння Лагранжа записуються зручніше^[12]:

${\displaystyle h=e\sin \varpi ,}$

${\displaystyle k=e\cos \varpi ,}$

${\displaystyle p=I\sin \Omega ,}$

${\displaystyle q=I\cos \Omega .}$

Аналогічно визначаються коефіцієнти ${\displaystyle h_{j},k_{j},p_{j},q_{j}}$ для збурюючих тіл. Тоді вираз для ${\displaystyle R}$ записуються в наступному вигляді^[13]:

${\displaystyle R=na^{2}\left[{\frac {1}{2}}A(h^{2}+k^{2})+{\frac {1}{2}}B(p^{2}+q^{2})+\sum _{j=1}^{2}A_{j}(hh_{j}+kk_{j})+\sum _{j=1}^{2}B_{j}(pp_{j}+qq_{j})\right].}$

Планетні рівняння Лагранжа в коефіцієнтах ${\displaystyle h,k,p,q}$ записуються так^[10]:

${\displaystyle {\dot {h}}={\frac {1}{na^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial k}}=Ak+\sum _{j=1}^{2}A_{j}k_{j},}$

${\displaystyle {\dot {k}}=-{\frac {1}{na^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial h}}=-Ah-\sum _{j=1}^{2}A_{j}h_{j},}$

${\displaystyle {\dot {p}}={\frac {1}{na^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial q}}=Bq+\sum _{j=1}^{2}B_{j}q_{j},}$

${\displaystyle {\dot {q}}=-{\frac {1}{na^{2}}}{\frac {\partial R}{\partial p}}=-Bp-\sum _{j=1}^{2}B_{j}p_{j},}$

де точка над символом означає похідну за часом. Величини ${\displaystyle h_{j},k_{j},p_{j},q_{j}}$ визначаються при аналізі руху збурюючих тіл під впливом центрального тіла та іншого збурюючого тіла, і з урахуванням цього система диференціальних рівнянь має розв'язок^[14]:

${\displaystyle h=e_{\text{free}}\sin(At+\beta )+h_{0}(t),}$

${\displaystyle k=e_{\text{free}}\cos(At+\beta )+k_{0}(t),}$

${\displaystyle p=I_{\text{free}}\sin(Bt+\gamma )+p_{0}(t),}$

${\displaystyle q=I_{\text{free}}\cos(At+\gamma )+q_{0}(t).}$

Тут ${\displaystyle t}$ — час, а ${\displaystyle e_{\text{free}},I_{\text{free}},\beta ,\gamma }$ — константи, які залежать від початкових умов. ${\displaystyle h_{0},k_{0},p_{0},q_{0}}$ — величини, що залежать від параметрів орбіти збурюючих тіл, а також від великої півосі орбіти пробної частинки, але не від інших елементів орбіти. Останні чотири параметри змінюються з часом. Такі ж за формою розв'язки виходять і при розгляді більшої кількості збурюючих тіл^[15].

Власні елементи

Отримані рішення мають наочну геометричну інтерпретацію. Для цього вводяться такі величини^[16]:

${\displaystyle e_{\text{forced}}={\sqrt {h_{0}^{2}+k_{0}^{2}}}}$,

${\displaystyle I_{\text{forced}}={\sqrt {p_{0}^{2}+q_{0}^{2}}}}$.

Спочатку можна розглянути окремий розв'язок ${\displaystyle \{h,k\}}$. З визначення даних величин випливає, що точка на площині ${\displaystyle (k,h)}$ має радіус-вектор довжиною ${\displaystyle e}$, що утворює кут ${\displaystyle \varpi }$ з віссю ${\displaystyle k}$. З урахуванням виду цього розв'язку можна представити його як суму двох векторів: перший з'єднує початок координат з точкою ${\displaystyle (h_{0},k_{0})}$, має модуль ${\displaystyle e_{\text{forced}}}$ і утворює кут, який можна назвати ${\displaystyle \varpi _{\text{forced}}}$, з віссю ${\displaystyle k}$. Другий вектор з'єднує точки ${\displaystyle (h_{0},k_{0})}$ і ${\displaystyle (h,k)}$, має модуль ${\displaystyle e_{\text{free}}}$ і утворює кут ${\displaystyle \varpi _{\text{free}}=At+\beta }$ з віссю ${\displaystyle k}$^[16].

Таким чином, зміна оскулюючих елементів орбіти частинки можна представити як рух у площині ${\displaystyle (k,h)}$. У цих координатах частинка рівномірно рухається по колу з радіусом ${\displaystyle e_{\text{free}}}$ навколо точки ${\displaystyle (h_{0},k_{0})}$, яка, у свою чергу, переміщується складним чином. Аналогічні міркування та висновки можна отримати для розв'язку ${\displaystyle \{p,q\}}$. Значення ${\displaystyle e_{\text{free}},I_{\text{free}},\varpi _{\text{free}},\Omega _{\text{free}}}$ називаються власними елементами орбіти, які практично не змінюються з часом^{[ком. 4]}, так що їх можна вважати фундаментальними властивостями орбіти частинки. Значення ${\displaystyle e_{\text{forced}},I_{\text{forced}},\varpi _{\text{forced}},\Omega _{\text{forced}}}$ називають збуреними елементами — вони змінюються з часом і залежать від збурень^[18].

Проведений вище аналіз не показує відмінностей між оскулюючою та власною великою піввіссю орбіти, оскільки в ньому не бралися до уваги короткоперіодичні збурення, проте тільки такі збурення впливають на велику піввісь. Оскільки на тривалих проміжках часу внесок короткоперіодичних збурень «усереднюється» і зводиться до нуля, велика піввісь не демонструє довгострокових змін^[17][19].

Власні елементи є квазі-інтегралами руху та залишаються незмінними протягом дуже тривалого часу. Вони відображають певним чином «усереднені» за часом характеристики руху небесного тіла, у яких виключено вплив коротко- та довгоперіодичних збурень^[20].

Існують різні способи обчислення власних елементів на основі спостережуваних величин. У загальних рисах, для цього спочатку складається модель сил, що діють на досліджуване тіло, проводиться усереднення елементів орбіти за часом, щоб позбутися впливу короткоперіодичних збурень, а потім проводиться обчислення інших збурень і віднімання вимушених елементів від оскулюючих^[17][20][21].

Власні елементи широко використовуються для вивчення, наприклад, динаміки поясу астероїдів, а також для поділу астероїдів на сім'ї^[20][21]. У наступній таблиці як приклад представлені власні та оскулюючі елементи Церери на епоху MJD 59800,0 (9 серпня 2022)^[22][23]:

Елементи орбіти Церери

	${\displaystyle a}$, а. е.	${\displaystyle e}$	${\displaystyle i}$, °
Власні	2,7612	0,115	9,660
Оскулюючі	2,7666	0,0786	10,587

Сім'ї Хіраями

Діаграми, що показують співвідношення між оскулюючими (ліворуч) та власними (праворуч) ексцентриситетом і нахилом орбіти астероїдів. Для власних елементів добре помітні скупчення — сім'ї астероїдів.

У 1918 році Кійоцуґу Хіраяма побудував діаграми (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle e}$) та (${\displaystyle a}$, ${\displaystyle i}$) для відомих астероїдів і виявив, що в деяких областях на діаграмі спостерігаються скупчення астероїдів. Спочатку Хіраяма будував діаграми для оскулюючих елементів, але згодом став використовувати власні елементи, для яких скупчення були краще помітні^[17][20][24].

Таким чином було виділено безліч сімей, наприклад, сім'ї Феміди, Еос, Короніди, Марії та інші. Вважається, що сім'ї астероїдів виникають при повному або частковому руйнуванні «батьківського» астероїда в результаті зіткнення: фрагменти набувають відносну швидкість, невелику порівняно зі швидкістю руху по орбіті, і залишаються близько одне до одного у фазовому просторі власних елементів орбіти протягом тривалого часу^[21].

Виноски

1. Для останніх двох величин справедливі вирази ${\displaystyle \varpi =\Omega +\omega }$ і ${\displaystyle \lambda =M+\varpi }$, де ${\displaystyle \omega }$ — аргумент перицентру, ${\displaystyle M}$ — середня аномалія^[1].
2. У більш загальному сенсі збурюючою функцією можна також описувати всі елементи гравітаційного потенціалу, додаткові до того, що виникає в моделі точкового або сферично симетричного центрального тіла. Наприклад, якщо центральне тіло має сплюснуту форму, то викликані цим відмінності потенціалу також можна описувати збурюючою функцією^[1][5].
3. У цій формулі не розглядаються члени, що включають середню довготу. Ця величина змінюється швидко (зі швидкістю орбітального руху), і на тривалих проміжках часу внесок пов'язаних з нею збурень «усереднюється» і зводиться нанівець^[1].
4. Значення ${\displaystyle \varpi _{\text{free}},\Omega _{\text{free}}}$ змінюються з часом, але рівномірно, тому для повного опису системи достатньо додати величини, що описують швидкість зміни цих елементів - частоти, відповідно, ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle s}$^[17].