Внутрішня точка

Внутрішня точка, у топології — це точка, яка входить у дану множину разом з деяким своїм околом.

Точка Х є внутрішньою для множини S, а точка У — ні, оскільки будь-який її окіл виходить за межі множини S.

Інтуїтивно внутрішня точка - це точка, яка не перебуває на краю.

Визначення

Нехай ${\displaystyle X}$ — топологічний простір з топологією ${\displaystyle T}$, і ${\displaystyle M\subseteq X}$. Точка ${\displaystyle x\in M}$ є внутрішньою для ${\displaystyle M}$ тоді і тільки тоді, коли існує відкрита множина ${\displaystyle S\in T}$, така що ${\displaystyle x\in S}$ та ${\displaystyle S\subseteq M}$.

Зауваження

• З визначення відразу виходить, що у відкритій множині всі точки внутрішні.
• Також вірно і зворотне: множина, всі точки якої внутрішні, є відкритою.

Окремі випадки

У метричному просторі визначення внутрішньої точки приймає наступний вигляд. Хай X — метричний простір з метрикою d, і M — його підмножина. Точка є внутрішньою для M тоді і тільки тоді, коли існує ${\displaystyle \varepsilon >0}$, таке що ${\displaystyle \forall y\in X,\,d(x,y)<\varepsilon \Rightarrow y\in M}$. Інакше кажучи, x входить в M разом з кулею радіусу ${\displaystyle \varepsilon }$ з центром в x.

Дивись також

• Ізольована точка
• Гранична точка
• Відкрита множина
• Окіл
• Внутрішність

Посилання

стаття на PlanetMath [Архівовано 12 червня 2019 у Wayback Machine.]