Відносна внутрішність

У математиці, відносна внутрішність множини — це удосконалення поняття внутрішньості, яке часто більш корисне, коли маємо справу з маловимірними множинами, розташованими у багатовимірному просторі. Інтуїтивно, відносна внутрішність множини містить усі точки, які не на «межі» множини, відносно найменшого підпростору, в якому вона лежить.

Формально, відносна внутрішність множини S (позначається ${\displaystyle \operatorname {relint} (S)}$) визначена як її внутрішність у афінній оболонці S.^[1] Інакше кажучи,

${\displaystyle \operatorname {relint} (S):=\{x\in S:\exists \epsilon >0,N_{\epsilon }(x)\cap \operatorname {aff} (S)\subseteq S\},}$

де ${\displaystyle \operatorname {aff} (S)}$ — це афінна оболонка S і ${\displaystyle N_{\epsilon }(x)}$ — куля радіусу ${\displaystyle \epsilon }$ із центром у ${\displaystyle x}$. Для побудови можна використовувати будь-яку метрику; всі метрики визначають одну й ту саму множину як відносну внутрішність.

Для будь-якої непорожньої опуклої множини ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ відносну внутрішність можна визначити як

${\displaystyle \operatorname {relint} (C):=\{x\in C:\forall {y\in C}\;\exists {\lambda >1}:\lambda x+(1-\lambda )y\in C\}.}$^[2][3]

Приклад

Розглянемо квадрат у ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$-площині в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3},}$ визначений як

${\displaystyle C=\{x\in \mathbb {R} ^{3}|-1\leq x_{1}\leq 1,-1\leq x_{2}\leq 1,x_{3}=0\}.}$

Його афінна оболонка це ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$-площина, тобто, ${\displaystyle \operatorname {aff} (C)=\{x\in \mathbb {R} ^{3}|x_{3}=0\}.}$ Внутрішність ${\displaystyle C}$ є порожньою, але відносна внутрішність така

${\displaystyle \operatorname {relint} (C)=\{x\in \mathbb {R} ^{3}|-1<x_{1}<1,-1<x_{2}<1,x_{3}=0\}.}$

Її границя (у ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$) це сама множина; її відносна границя це її обрис,

${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}|\operatorname {max} \{|x_{1}|,|x_{2}|\}=1,x_{3}=0\}.}$