Гравітація Місяця

Гравітація Місяця вшестеро слабша від гравітації Землі. Прискорення вільного падіння на поверхні Місяця становить приблизно 1,625 м/с², тобто близько 0,166 g^[2]. Загальна варіація прискорення вільного падіння на поверхні складає близько 0,0253 м/с² (1,6 % від середнього значення). Оскільки вага безпосередньо залежить від гравітаційного прискорення, на Місяці об'єкти важать лише 16,6 % (= 1/6) від їхньої ваги на Землі.

Прискорення вільного падіння на поверхні Місяця в м/с². Ближній бік — ліворуч, дальній — праворуч. Карта побудована за моделлю Lunar Gravity Model 2011^[1].

Через слабку гравітацію Місяць не здатен довго утримувати гази, які випаровуються з його надр, тому атмосфера Місяця надзвичайно розріджена. Гравітацію Місяця вивчали шляхом дослідження орбіт штучних супутників Місяця. Дослідження апаратів «Луна-10» і «Lunar Reconnaissance Orbiter» показали, що під поверхнею Місяця існують надлишкові маси — маскони. Особливо помітні маскони знаходяться під центрами морів.

Гравітаційне поле

Радіальна гравітаційна аномалія на поверхні Місяця в мГал.

Гравітаційне поле Місяця вимірювали шляхом відстеження радіосигналів від космічних апаратів на навколомісячній орбіті. Доплерівський зсув частоти радіосигналу від апарата дозволяв визначати променеву швидкість апарата, а час ходу сигналу — вимірювати відстань від апарата до наземної станції. Оскільки гравітаційне поле Місяця збурює орбіту космічного апарата, такі виміри дозволяють виявляти гравітаційні аномалії.

Більшість низьких навколомісячних орбіт є нестійкими. Стійкими^[en] залишаються лише орбіти з нахилами поблизу 27°, 50°, 76° та 86°^[3]. Через синхронне обертання Місяця й неможливість відстеження космічних апаратів із Землі за межами його лімбів, гравітаційне поле зворотного боку Місяця залишалося недостатньо вивченим аж до місії GRAIL.

Місії з точним доплерівським відстеженням, дані яких використовували для побудови моделей гравітаційного поля, наведені в таблиці нижче. Тут подано назву космічного апарата, коротке позначення, кількість апаратів із точним відстеженням, країну походження та роки доплерівських вимірювань. «Аполлони» 15 і 16 випустили субсупутники. Місія «Кагуя/SELENE» мала відстеження між трьома апаратами для вимірювання на зворотному боці. GRAIL забезпечив надзвичайно точні вимірювання між двома апаратами та відстеженням із Землі.

Місії, використані для дослідження гравітації Місяця 

Місія	Позначення	Кількість апаратів	Країна	Роки
Lunar Orbiter 1[en]	LO1	1	США	1966
Lunar Orbiter 2[en]	LO2	1	США	1966–1967
Lunar Orbiter 3	LO3	1	США	1967
Lunar Orbiter 4	LO4	1	США	1967
Lunar Orbiter 5	LO5	1	США	1967–1968
Субсупутник «Аполлона-15»	A15	1	США	1971–1972
Субсупутник «Аполлона-16»	A16	1	США	1972
Клементина	Cl	1	США	1994
Lunar Prospector	LP	1	США	1998–1999
Кагуя/SELENE	K/S	3	Японія	2007–2009
Чан'е-1	Ch1	1	Китай	2007–2009
GRAIL	G	2	США	2012
Чан'е-5T1	Ch1T1	1	Китай	2015–2018

Наведена нижче таблиця перелічує моделі гравітаційного поля Місяця. У ній подано позначення моделі, максимальний ступінь, перелік ідентифікаторів місій, дані яких були використані, та відповідне посилання. Позначення LO охоплює всі п'ять місій Lunar Orbiter. Моделі, отримані місією GRAIL, мають найвищу точність; інші місії з ними не комбінують.

Моделі гравітаційного поля Місяця

Позначення	Ступінь	Ідентифікатори місій	Джерело
LP165P	165	LO A15 A16 Cl LP	[4]
GLGM3	150	LO A15 A16 Cl LP	[5]
CEGM01	50	Ch1	[6]
SGM100h	100	LO A15 A16 Cl LP K/S	[7]
SGM150J	150	LO A15 A16 Cl LP K/S	[8]
CEGM02	100	LO A15 A16 Cl LP K/S Ch1	[9]
GL0420A	420	G	[10]
GL0660B	660	G	[11]
GRGM660PRIM	660	G	[12]
GL0900D	900	G	[13]
GRGM900C	900	G	[14]
GRGM1200A	1200	G	[15]
CEGM03	100	LO A15 A16 Cl LP Ch1 K/S Ch5T1	[16]

Основною особливістю гравітаційного поля Місяця є наявність масконів — великих додатних гравітаційних аномалій, пов'язаних із деякими гігантськими ударними басейнами. Ці аномалії суттєво впливають на орбіти космічних апаратів навколо Місяця, тому для планування як пілотованих, так і безпілотних місій потрібна точна гравітаційна модель. Вперше маскони відкрили під час аналізу даних відстеження положень апаратів програми Lunar Orbiter^[17]: ще до програми «Аполлон» навігаційні тести показали похибки у визначенні положень апаратів, що значно перевищували очікування.

Маскони частково зумовлені наявністю щільних морських базальтових лавових потоків, які заповнюють деякі ударні басейни^[18]. Однак самі лише лавові потоки не можуть повністю пояснити варіації гравітації — потрібен також підйом межі між корою та мантією. На основі гравітаційних моделей місії Lunar Prospector висунули припущення, що деякі маскони не мають ознак морського базальтового вулканізму^[4]. Велетенська область морського базальтового вулканізму, пов'язана з Океаном Бур, не створює додатної гравітаційної аномалії. Центр мас Місяця не збігається з його геометричним центром і зміщений у бік Землі приблизно на 2 км^[19].

Океан Бур на Місяці

Давні рифтові долини — прямокутна структура (видима у топографії та гравітаційних неоднорідностях за даними місії GRAIL)

Давні рифтові долини — загальний контекст.

Давні рифтові долини зблизька — художня реконструкція.

Маса Місяця

Гравітаційна стала G визначена менш точно, ніж добуток G на масу Місяця. Тому зазвичай прийнято наводити масу Місяця M, помножену на G. Значення параметра GM для Місяця за результатами аналізу даних місії GRAIL становить 4902,8001 км³/с^{2[13][12][20]}. Маса Місяця становить M = 7,3458 × 10²² кг, а середня густина — 3346 кг/м³. Маса Місяця дорівнює 1/81,30057 від маси Землі^[21].

Теорія

Для опису гравітаційного поля Місяця зазвичай приймають екваторіальний радіус R = 1738,0 км. Гравітаційний потенціал розкладають у ряд за сферичними гармоніками P_nm. Гравітаційний потенціал V у зовнішній точці в астрономії та геофізиці заведено вважати додатним, а у фізиці — від'ємним. Для першого випадку:

$${\displaystyle V=\left({\frac {GM}{r}}\right)-\left({\frac {GM}{r}}\right)\sum \left({\frac {R}{r}}\right)^{n}J_{n}P_{n,0}(\sin \phi )+\left({\frac {GM}{r}}\right)\sum \left({\frac {R}{r}}\right)^{n}[C_{n,m}P_{n,m}(\sin \phi )\cos(m\lambda )+S_{n,m}P_{n,m}(\sin \phi )\sin(m\lambda )]}$$

де r — відстань до зовнішньої точки при r ≥ R, φ — широта зовнішньої точки, а λ — східна довгота цієї точки. Сферичні гармоніки P_nm можуть бути нормалізованими або ненормалізованими, що впливає на гравітаційні коефіцієнти J_n, C_nm і S_nm. Тут використані ненормалізовані функції та відповідні коефіцієнти. P_n0 називають поліномами Лежандра, а P_nm для m≠0 — приєднані функції Лежандра, де індекс n означає ступінь, m — порядок, причому m ≤ n. Суми починаються з n = 2. Ненормалізовані функції другого ступеня мають вигляд:

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{2,0}&={\frac {3}{2}}\sin ^{2}\!\phi -{\frac {1}{2}}\\[1ex]P_{2,1}&=3\sin \phi \cos \phi \\[1ex]P_{2,2}&=3\cos ^{2}\phi \end{aligned}}}$$

Гравітаційне прискорення в точці з радіус-вектором r задається виразом:

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}&=\nabla V\\[1ex]&={\partial V \over \partial r}e_{r}+{\frac {1}{r}}{\partial V \over \partial \phi }e_{\phi }+{\frac {1}{r\cos \phi }}{\partial V \over \partial \lambda }{e_{\lambda }}\end{aligned}}}$$

де e_r, e_φ та e_λ — орти в трьох напрямках.

Гравітаційні коефіцієнти

У таблиці наведені ненормалізовані гравітаційні коефіцієнти 2-го і 3-го ступеня, визначені місією GRAIL^[13][12][20]. Нульові значення C₂₁, S₂₁ та S₂₂ пов'язані з використанням системи головних осей, вибраної спеціальним чином. Коефіцієнти першого ступеня відсутні, якщо всі три осі проходять через центр мас.

Гравітаційні коефіцієнти Місяця

nm	Jn	Cnm	Snm
20	203,3 × 10−6	—	—
21	—	0	0
22	—	22,4 × 10−6	0
30	8,46 × 10−6	—	—
31	—	28,48 × 10−6	5,89 × 10−6
32	—	4,84 × 10−6	1,67 × 10−6
33	—	1,71 × 10−6	−0,25 × 10−6

Коефіцієнт J₂, що характеризує сплющеність гравітаційного поля, залежить від обертання й твердотільних припливів, а C₂₂ залежить від твердотільних припливів. Обидва значення перевищують рівноважні, що свідчить про здатність верхніх шарів Місяця витримувати пружні напруження. Значення коефіцієнта C₃₁ також велике.

Моделювання місячної гравітації

У січні 2022 року газета South China Morning Post повідомила, що в Китаї створено невелику (60 см у діаметрі) дослідницьку установку для моделювання низької гравітації Місяця за допомогою магнітів^[22][23]. За повідомленнями, ця установка частково була натхненна роботами Андрія Гейма (який згодом разом із колегами отримав Нобелівську премію з фізики 2010 року за дослідження графену) та Майкла Беррі. Обидва вони у 2000 році здобули Шнобелівську премію з фізики за магнітну левітацію жаби^[22][23].