Поліноми Лежандра

Поліноми Лежандра — ортогональні поліноми на інтервалі ${\displaystyle [-1,1]}$.

Ортогональні поліноми
Лежандра
Відкриті	Адрієн-Марі Лежандр
Формула	${\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}$
Диференціальне рівняння	${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0}$
Визначені на	${\displaystyle \ [-1,+1]}$
Вага	1
Норма	${\displaystyle {2 \over {2n+1}}}$
Примітки

Поліноми Лежандра можна отримати з системи поліномів ${\displaystyle 1,x,x^{2},x^{3},\ldots }$ за допомогою ортогоналізації Грама-Шмідта.

Можуть бути обчислені за допомогою прямих формул:

${\displaystyle P_{n}(x)={1 \over 2^{n}n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]}$

або за рекурентними:

${\displaystyle P_{n+1}(x)={2n+1 \over {n+1}}xP_{n}(x)-{n \over {n+1}}P_{n-1}(x).}$

Вони є розв'язками диференційного рівняння Лежандра:

${\displaystyle {d \over dx}\left[(1-x^{2}){d \over dx}P_{n}(x)\right]+n(n+1)P_{n}(x)=0.}$

Графіки поліномів Лежандра порядку ${\displaystyle n=0,1,...,5}$

Генератриса для многочленів Лежандра дорівнює

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(z)x^{n}={1 \over {\sqrt {1-2xz+x^{2}}}}.}$

Перші 9 поліномів Лежандра:

${\displaystyle \ P_{0}(x)=1}$

${\displaystyle \ P_{1}(x)=x}$

${\displaystyle P_{2}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)}$

${\displaystyle P_{3}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)}$

${\displaystyle P_{4}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)}$

${\displaystyle P_{5}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)}$

${\displaystyle P_{6}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)}$

${\displaystyle P_{7}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)}$

${\displaystyle P_{8}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)}$

${\displaystyle P_{9}(x)={\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)}$

Ортогональність

Умова ортогональності справджується на інтервалі ${\displaystyle [-1,1]}$:

${\displaystyle \int \limits _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)dx={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}$

де ${\displaystyle \delta _{mn}}$ — дельта-символ Кронекера.

Приєднані функції Лежандра

Приєднані функції Лежандра визначаються за формулою:

${\displaystyle P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{n}(x),}$

яку можна також представити у вигляді:

${\displaystyle P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}}P_{n}(\cos \theta ).}$

При ${\displaystyle m=0}$ функція ${\displaystyle P_{n}^{m}}$ збігається з ${\displaystyle P_{n}}$.

Їх часто називають приєднаними поліномами Лежандра, хоча насправді ці функції не поліноми.

Приєднані функції Лежандра є розв'язками диференціального рівняння:

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left(n[n+1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}$

або еквівалентного йому:

${\displaystyle ([1-x^{2}]\,y')'+\left(n[n+1]-{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right)\,y=0,\,}$

Застосування

Поліноми Лежандра широко застосовуються у фізиці. Зазвичай аргументом поліномів є косинус полярного кута ${\displaystyle \theta }$, який змінюється від −1 при ${\displaystyle \theta =\pi }$ до 1 при ${\displaystyle \theta =0}$.

Зокрема для отримання мультипольного розкладу електростатичних полів:

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}-2rr_{0}\cos \theta +r_{0}^{2}}}}={\frac {1}{r_{0}}}{\frac {1}{\sqrt {1-2x\cos \theta +x^{2}}}}={\frac {1}{r_{0}}}\sum _{n}P_{n}(\cos \theta )x^{n}}$,

де ${\displaystyle x=r/r_{0}}$, а ${\displaystyle \cos \theta }$ — кут між векторами ${\displaystyle \mathbf {r} }$ та ${\displaystyle \mathbf {r} _{0}}$.

Інше важливе застосування — розклад полів на парціальні хвилі. Наприклад, плоска хвиля розкладається за допомогою формули

${\displaystyle e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=\sum _{l=0}^{\infty }(2l+1)i^{l}j_{l}(kr)P_{l}(\cos \theta )}$

де ${\displaystyle j_{l}(x)}$ — сферичні функції Бесселя.

Див. також

• Сферичні гармоніки

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)