Диференціальне рівняння параболічного типу

Диференціа́льне рівня́ння параболі́чного ти́пу — один із трьох можливих випадків диференціального рівняння другого порядку в частинних похідних з двома змінними, що в математичній фізиці використовується для опису процесів розпливання, дифузії, теплопровідності.

Якщо диференціальне рівняння другого порядку в частинних похідних в загальній формі

${\displaystyle a_{11}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x^{2}}}+2a_{12}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta x\delta y}}+a_{22}{\frac {\delta ^{2}u}{\delta y^{2}}}+F_{0}\left(x,y,u,{\frac {\delta u}{\delta x}},{\frac {\delta u}{\delta y}}\right)=0\ \ (1)}$

параболічне, то

${\displaystyle D=a_{12}^{2}-a_{11}a_{22}=0}$.

Тоді воно має канонічну форму:

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}u}{\delta \eta ^{2}}}+F_{4}\left(\xi ,\eta ,{\frac {\delta u}{\delta \xi }},{\frac {\delta u}{\delta \eta }}\right)=0}$

Диференціальні рівняння характеристик збігаються, й існує один загальний інтеграл ${\displaystyle \varphi (x,y)=C}$. Як наслідок ${\displaystyle \xi =\varphi (x,y),\eta =\psi (x,y)}$, де ${\displaystyle \psi }$ — двічі неперервно-диференційовна функція, яка не перетворює в нуль коефіцієнти при ${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}u}{\delta \eta ^{2}}}}$.

Найпростішим видом параболічного рівняння є рівняння теплопровідності:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}$.

Див. також

• Диференціальне рівняння еліптичного типу
• Диференціальне рівняння гіперболічного типу

Література

• Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики: Навч. посібник. (Zip) – К.: Либідь, 2001. – 336 с.
• Тихонов А. Н., Самарский А. А., Уравнения математической физики, М., 1983;
• Evans, L. C. (1998), Partial Differential Equations, Providence: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0772-2 .