Рівняння теплопровідності

Рівня́ння теплопрові́дності — диференціальне рівняння, що визначає закон зміни температури з часом при теплопередачі через теплопровідність.

${\displaystyle c{\frac {dT(\mathbf {r} )}{dt}}=-\nabla \cdot \mathbf {q(\mathbf {r} )} +S(\mathbf {r} )}$,

де c — питома теплоємність, ${\displaystyle \mathbf {q} }$ — тепловий потік, S — джерело тепла.

У випадку, коли тепловий потік пропорційний градієнту температури (закон Фур'є)

${\displaystyle \mathbf {q} =-\kappa \nabla T}$,

закон теплопровідності набирає форми:

${\displaystyle c{\frac {dT}{dt}}=\kappa \nabla ^{2}T+S}$.

Це неоднорідне диференційне рівняння в часткових похідних параболічного типу, схоже на рівняння дифузії.

Здебільшого при розв'язуванні рівняння теплопровідності вважають, що теплоємність і коефіцієнт теплопровідності не залежать від температури. В такому випадку рівняння теплопровідності стає лінійним.

Див. також

• Рівняння дифузії
• Рівняння неперервності
• Задача Коші для рівняння теплопровідності

Джерела

• Крижанівський С.Є. Диференціальні рівняння. — Х.: : ДНТВУ.НКТП, 1938. — 398 с.(укр.)
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Савула Я. Метод скінченних елементів (окремі сторінки посібника 1993 р.) http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/savula.pdf
• Шинкаренко Г. Чисельні методи математичної фізики (окремі сторінки чорновика посібника)http://old.ami.lnu.edu.ua/books/AMI/nmmf.pdf

• Портал «Математика»