Домінівна множина ребер

У теорії графів домінівна́ множина́ ре́бер (або реберна домінівна́ множина́) графа G = (V, E) — це підмножина D ⊆ E, така, що будь-яке ребро не з D суміжне щонайменше одному ребру з D. На рисунках (a)–(d) наведено приклади домінівних множин ребер (червоні ребра).

Приклади домінівних множин ребер.

Найме́нша домінівна́ множина́ ре́бер — це домінівна множина ребер найменшого розміру. На рисунках (a) і (b) наведено приклади найменших домінівних множин ребер (можна перевірити, що для даного графа не існує домінівної множини з двох ребер).

Властивості

Домінівна множина ребер для графа G є домінівною множиною реберного графа L(G), і навпаки.

Будь-яке максимальне парування завжди є реберною домінівною множиною. На рисунках (b) та (d) наведено приклади максимальних паросочетань.

Більше того, розмір найменшої домінівної множини ребер дорівнює розміру найменшого максимального парування. Найменше максимальне парування — це найменша домінівна множина ребер. Малюнок (b) дає приклад найменшого максимального парування. Найменша домінівна множина ребер не обов'язково є найменшим максимальним паруванням, що ілюструє малюнок (a). Однак, якщо задано найменшу домінівну множину ребер D, легко знайти найменше максимальне парування з |D| ребрами (див., наприклад, статтю Міхаліса Яннакакіса і Фаніци Гаврила^[1]).

Алгоритми та обчислювальна складність

Визначення, чи існує домінівна множина ребер даного розміру для даного графа, є NP-повною задачею (а тому знаходження найменшої домінівної множини ребер є NP-складною задачею). Міхаліс Яннакакіс і Фаніца Гаврил^[1] показали, що задача є NP-повною навіть для двочасткового графа з найбільшим степенем вершин 3, а також для планарного графа з найбільшим степенем вершин 3.

Існує простий апроксимаційний алгоритм поліноміального часу з коефіцієнтом апроксимації 2 — знаходимо будь-яке максимальне парування. Максимальне парування є домінівною множиною ребер. Більш того, максимальне парування M може бути вдвічі більшим за розміром від найменшого максимального парівання, а найменше максимальне парування має такий самий розмір, що й найменша домінівна множина ребер.

Можна також апроксимувати з коефіцієнтом 2 реберно-зважену версію задачі, але алгоритм значно складніший^[2].

Хлєбіков і Хлєбікова^[3] показали, що пошук з коефіцієнтом, кращим ніж (7/6), є NP-складною задачею.