Ділення з остачею

Ділення з остачею (ділення за модулем, ділення націло) — арифметична операція, результатом якої є два числа: частка та остача.

17 = 3 * 5 + 2

Визначення

Поділити з остачею ціле число ${\displaystyle \ a}$ на натуральне число ${\displaystyle \ b>0}$ означає подати його у вигляді:

${\displaystyle a=b\cdot q+r,\quad 0\leqslant r<b,\quad q\in \mathbb {Z} .}$

${\displaystyle \ q}$ — називають неповною часткою,

${\displaystyle \ r}$ — остачею від ділення.

Якщо ${\displaystyle \ r=0,}$ то:

• кажуть, що ${\displaystyle \ a}$ ділиться на ${\displaystyle \ b.}$ Позначається ${\displaystyle a\,\vdots \,b.}$
• ${\displaystyle \ b}$ є дільником ${\displaystyle \ a.}$ Визначення дільника відрізняється від визначення дільника в звичайному діленні.

Наприклад, при діленні з остачею ${\displaystyle a=17}$ на ${\displaystyle b=5}$ отримаємо неповну частку ${\displaystyle q=3}$ та остачу ${\displaystyle r=2:}$

${\displaystyle 17=5\cdot 3+2.}$

Також можливе ділення з остачею дійсних чисел на додатні дійсні числа.

При діленні на від'ємне число, навіть для цілих чисел, результат не є таким, що інтерпретується однозначно. В теорії чисел прийнято, що ${\displaystyle r\geqslant 0,}$ в мовах програмування, здебільшого, це не виконується.

У&nbsp;програмуванні

Наприклад, у Паскалі операція mod обчислює остачу від ділення, а операція div обчислює частку:

17 mod 5 = 2
17 div 5 = 3

Див. також

• Модульна арифметика
• Подільність
• Ділення многочленів

Джерела

• Погребиський Й. Б. Арифметика. — Київ : Освіта, 1953.(укр.)