Елементарні перетворення матриці

Елементарні перетворення матриці — перетворення матриці, в результаті яких зберігається еквівалентність матриць. Таким чином, елементарні перетворення не змінюють множину розв'язків системи лінійних алгебраїчних рівнянь, яку представляє ця матриця.

Означення елементарних перетворень матриці

Нехай задана матриця А, що складається з m рядків та n стовпців:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

елементарними перетвореннями називаються такі перетворення:

• множення рядка (стовпця) матриці на число.
• додавання до рядка (стовпця) інший рядок (стовпець), домножений на довільне число.

Дані перетворення також називаються елементарними перетвореннями рядків. Аналогічно визначаються елементарні перетворення стовпців.

Приклад

• Якщо i-ий рядок матриці A домножити на число α, то А буде виглядати так:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha *a_{i1}&\alpha *a_{i2}&\cdots &\alpha *a_{in}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

• Якщо до i-го рядка матриці додати k-ий рядок(домножений на число α), то A буде виглядати так:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{i1}+\alpha *a_{k1}&a_{i2}+\alpha *a_{k2}&\cdots &a_{in}+\alpha *a_{kn}\\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}}$

Елементарні матриці

Елементарні перетворення матриці можна одержати домноженням зліва на елементарні матриці, що відрізняються від одиничної лише одним елементом. Так матриця, що відповідає множенню i-го рядка на ${\displaystyle \alpha \,}$ має вигляд:

${\displaystyle T_{i}(\alpha )={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\alpha &&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}\quad }$

Матриця, що відповідає додаванню до i-го рядка матриці j-го рядка домноженого на число ${\displaystyle \alpha \,}$ має вигляд:

${\displaystyle T_{i,j}(\alpha )={\begin{bmatrix}1&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&\ddots &&&&\\&&\alpha &&1&&\\&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&1\end{bmatrix}}}$

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)