Епсилон-мережа

ε-мережа (епсилон-мережа, ε-щільна множина) для підмножини ${\displaystyle M}$ метричного простору ${\displaystyle X}$ — множина ${\displaystyle Z}$ з того ж простору ${\displaystyle X}$ така, що для будь-якої точки ${\displaystyle x\in M}$ знайдеться точка ${\displaystyle z\in Z}$, віддалена від ${\displaystyle x}$ не більше ніж на ε.

Пов'язані визначення

• Метричний простір, у якому для кожного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує скінченна ${\displaystyle \varepsilon }$-мережа, називається цілком обмеженим.
• Метрика ${\displaystyle \rho }$ на множині ${\displaystyle X}$ називається цілком обмеженою, якщо ${\displaystyle (X,\rho )}$ — цілком обмежений метричний простір.
• Сімейство метричних просторів ${\displaystyle (X_{\alpha },\rho _{\alpha })}$ таких, що для будь-кого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує натуральне число ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ таке, що кожен простір ${\displaystyle (X_{\alpha },\rho _{\alpha })}$ допускає ${\displaystyle \varepsilon >0}$-мережу з не більш ніж ${\displaystyle N_{\varepsilon }}$ точок називається універсально цілком обмеженим.
  • Для таких сімейств виконується аналог теореми Громова про компактність.
• Топологічний простір, гомеоморфний цілком обмеженому метричному простору, називається метризованим цілком обмеженою метрикою.

Приклади

• Для стандартної метрики множина раціональних чисел є ε-мережею для множини дійсних чисел для будь-якого ε > 0.
• Множина цілих чисел є ε-мережею для множини дійсних чисел для ${\displaystyle \varepsilon \geq 0{,}5}$.

Властивості

• Метричний простір має еквівалентну цілком обмежену метрику тоді й лише тоді, коли він сепарабельний.
• Топологічний простір метризується цілком обмеженою метрикою тоді й лише тоді, коли він регулярний і задовольняє другій аксіомі зліченності.
• Метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли він повний і цілком обмежений. У трохи загальнішому формулюванні, теорема Гаусдорфа про компактність стверджує, що для відносної компактності підмножини ${\displaystyle M}$ метричного простору ${\displaystyle X}$ необхідно, а в разі повноти простору ${\displaystyle X}$ і достатньо, щоб за будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існувала скінченна ε -мережа з елементів множини ${\displaystyle M}$.

Доведення

Необхідність

Нехай множина ${\displaystyle M}$ (відносно) компактна. Зафіксуємо ${\displaystyle \varepsilon >0}$ і розглянемо будь-який елемент ${\displaystyle x_{1}\in M}$. Якщо ${\displaystyle \rho (x,x_{1})<\varepsilon }$ для будь-якого ${\displaystyle x\in M}$, то скінченну ε-мережу з одного елемента вже побудовано. В іншому випадку знайдеться елемент ${\displaystyle x_{2}\in M}$ такий, що ${\displaystyle \rho (x_{2},x_{1})\geqslant \varepsilon }$. Далі є дві можливості. Або для будь-якого ${\displaystyle x\in M}$ принаймні одне з чисел ${\displaystyle \rho (x,x_{1})}$ або ${\displaystyle \rho (x,x_{2})}$ менше ${\displaystyle \varepsilon }$, і тоді скінченну ε-мережу з двох елементів уже побудовано, або знайдеться елемент ${\displaystyle x_{3}\in M}$ такий, що ${\displaystyle \rho (x_{3},x_{1})\geqslant \varepsilon }$, ${\displaystyle \rho (x_{3},x_{2})\geqslant \varepsilon }$, і так далі. Покажемо, що процес побудови точок ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ обірветься після скінченного числа кроків, що означає, що скінченну ε-мережу буде побудовано. Якби це було не так, то вийшла б послідовність ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},\ldots }$, для якої ${\displaystyle \rho (x_{i},x_{j})\geqslant \varepsilon }$ при ${\displaystyle i\neq j}$. Але тоді ні сама послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\},}$ ані жодна її підпослідовність не може збігатися, що суперечить компактності множини ${\displaystyle M}$. Отже, для компактної множини ${\displaystyle M}$ ми побудували скінченну ε-мережу, точки якої належать самій множині.

Достатність

За будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ε-мережа для множини ${\displaystyle M}$. Візьмемо числову послідовність ${\displaystyle {\mathcal {f}}\varepsilon _{n}{\mathcal {g}}}$, де ${\displaystyle \varepsilon _{n}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$ і для кожного ${\displaystyle n}$ побудуємо ${\displaystyle \varepsilon _{n}}$-мережу ${\displaystyle N_{n}=\{z_{1}^{(n)},z_{2}^{(n)},\ldots ,z_{m_{n}}^{(n)}\}}$. Розглянемо довільну послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}\in M}$. Оскільки ${\displaystyle N_{1}}$ є ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$-мережею для ${\displaystyle M}$, то, яким би не був елемент ${\displaystyle x\in M}$, матимемо, що ${\displaystyle \rho (x,z_{i}^{(1)})<\varepsilon _{1}}$ для принаймні одного елемента ${\displaystyle z_{i}^{(1)}\in N_{1}}$. Тому будь-який елемент ${\displaystyle x\in M}$ потрапляє принаймні в одну кулю ${\displaystyle S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1}),i=1,2,\ldots ,m_{1}}$, тобто вся множина ${\displaystyle M}$, а тим більше вся послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ розміститься в цих кулях. Оскільки число куль скінченне, а послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ нескінченна, то знайдеться принаймні одна куля ${\displaystyle S(z_{i}^{(1)},\varepsilon _{1})}$, яка міститиме нескінченну підпослідовність ${\displaystyle \{x_{n}^{(1)}\}}$ нашої послідовності. Це міркування можна повторити і для ${\displaystyle N_{m},m=2,3,\ldots }$. Складемо діагональну підпослідовність ${\displaystyle x_{1}^{(1)},x_{2}^{(2)},\ldots ,x_{k}^{(k)},\ldots }$. Покажемо, що ця послідовність збігається до себе. Оскільки ${\displaystyle x_{k}^{(k)}}$ і ${\displaystyle x_{k+p}^{(k+p)}}$ при ${\displaystyle p>0}$ входять до ${\displaystyle k}$-ї підпослідовності, а ${\displaystyle k}$-та підпослідовність міститься в кулі ${\displaystyle S(z_{i}^{(k)},\varepsilon _{k})}$, то ${\displaystyle \rho (x_{k+p}^{(k+p)},x_{k}^{(k)})\leqslant \varepsilon _{k}\rightarrow 0}$ при ${\displaystyle k\rightarrow \infty }$. За припущенням, простір ${\displaystyle X}$ повний. Тому зі збіжності до себе послідовності ${\displaystyle \{x_{k}^{(k)}\}}$

випливає її збіжність до певної границі, а це й доводить можливість виділення з будь-якої послідовності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ збіжної підпослідовності, тобто (відносна) компактність множини ${\displaystyle M.}$^[1]

• Повний метричний простір компактний тоді й лише тоді, коли для будь-кого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ в ньому існує компактна ε-мережа.