Сепарабельний простір

Сепарабельним простором у математиці називається топологічний простір, в якому міститься не більш ніж зліченна всюди щільна множина, тобто існує послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }}$ така, що будь-яка відкрита множина містить хоча б один елемент даної послідовності.

Властивості

• Будь-який відкритий топологічний підпростір сепарабельного топологічного простору теж є сепарабельним. Для загального підпростору подібне твердження є невірним.
• Будь-який топологічний простір є підпростором сепарабельного простору тієї ж кардинальності.
• Неперервний образ сепарабельного простору є сепарабельним.

Приклади

• Топологічний простір, який є скінченним чи зліченним є, очевидно, сепарабельним.
• Дійсна пряма є сепарабельним простором, оскільки множина раціональних чисел є зліченною щільною підмножиною.
• Будь-який компактний метричний простір є сепарабельним.
• Гільбертів простір є сепарабельним тоді й лише тоді, коли він має зліченний ортонормований базис.

Див. також

• Щільна множина

Джерела

• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)