Ермітів оператор

Обмежений лінійний оператор ${\displaystyle A:H\to H}$ у комплексному гільбертовому просторі називається ермітовим, якщо для всіх ${\displaystyle u,v\in H}$ виконується тотожність

${\displaystyle (Au,v)=(u,Av)\,,}$

що записується також як ${\displaystyle A=A^{\dagger }.}$ Ермітові оператори відіграють важливу роль у квантовій механіці. У рівнянні Шредінгера вимірюваним фізичним величинам відповідають ермітові (насправді, самоспряжні) оператори у гільбертовому просторі векторів стану^[1].

Характеризації ермітових операторів

Наступні властивості обмеженного лінійного оператора ${\displaystyle A}$ у комплексному гільбертовому просторі ${\displaystyle H}$ виконуються тоді і тільки тоді, коли цей оператор — ермітовий.

• Матриця ${\displaystyle A}$ відносно довільного ортогонального базису ${\displaystyle H}$ є ермітовою.
• В ${\displaystyle H}$ існує ортогональний базис, відносно якого матриця ${\displaystyle A}$ є ермітовою.
• В ${\displaystyle H}$ існує ортогональний базис, відносно якого матриця ${\displaystyle A}$ є діагональною з дійсними елементами.
• В ${\displaystyle H}$ існує ортогональний базис утворений з власних векторів оператора ${\displaystyle A}$ з дійсними власними значеннями.

Див. також

Самоспряжний оператор