Симетричний оператор

Лінійний оператор ${\displaystyle A}$ у гільбертовому просторі із всюди щільною множиною визначення називається симетричним, якщо ${\displaystyle D(A^{*})\supset D(A)}$ та ${\displaystyle A^{*}=A}$ на ${\displaystyle D(A)}$. Тут ${\displaystyle D(A)}$ область визначення оператора ${\displaystyle A}$. Ті симетричні оператори, для яких ${\displaystyle D(A^{*})=D(A)}$, називаються самоспряженими.

Оператор ${\displaystyle B}$ називається розширенням оператора ${\displaystyle A}$, якщо ${\displaystyle D(B)\supset D(A)}$ і ${\displaystyle Bf=Af\ \forall f\in D(A)}$. Серед симетричних операторів ${\displaystyle A}$ дуже важливі оператори, що допускають самоспряжене розширення, тобто для них існують такі симетричні оператори ${\displaystyle B}$, які самоспряжені і є розширенням ${\displaystyle A}$

${\displaystyle B^{*}=B}$.

Ермітів оператор — це симетричний обмежений оператор.

Джерела

• Гельфанд І. М. Лекції з лінійної алгебри. — 2025. — 248 с.(укр.)
• Банах С. Курс функціонального аналізу (лінійні операції). — К. : Радянська школа, 1948. — 216 с.(укр.)
• Ахієзер Н.І., Глазман І.М. Теорія лінійних операторів у гільбертовому просторі. — 2025. — 663 с.(укр.)
• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)