Завихреність

Завихреність — властивість руху рідини або газу, при якому в середовищі існують «вихори» — обертові елементи об'єму. Кількісною мірою завихреності служить ротор швидкості ${\displaystyle {\omega =\operatorname {rot} ~v}}$; ω називають псевдовектором вихору або просто завихреністю. Рух з ненульовою завихреністю називається вихровим рухом, на відміну від потенційного — безвихрового руху.

Опис

Еквівалентною мірою завихреності, більш зручною в теоретичних побудовах, є антисиметрична частина тензора градієнта швидкості ${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{2}}(\nabla v-\nabla v_{T})}$

В декартових координатах ${\displaystyle x_{1}}$,${\displaystyle x_{2}}$,${\displaystyle x_{3}}$ зв'язок компонент вектора ${\displaystyle \omega }$ і тензора ${\displaystyle \Omega }$ дається виразами

${\displaystyle \omega _{1}=2\cdot \Omega _{23}}$,
${\displaystyle \omega _{2}=2\cdot \Omega _{31}}$,
${\displaystyle \omega _{3}=2\cdot \Omega _{12}}$,
${\displaystyle \Omega _{ij}={\frac {1}{2}}({\frac {dv_{i}}{dx_{j}}}-{\frac {dv_{j}}{dx_{i}}})}$.

У в'язкій рідині відбувається вирівнювання — дифузія локалізованих завихреностей, причому роль коефіцієнта дифузії відіграє кінематична в'язкість рідини ${\displaystyle \nu }$. Еволюція завихреності в'язкої нестисливої ​​рідини визначається рівнянням

${\displaystyle {\frac {d\omega }{dt}}=(\omega \nabla )u+\nu \triangledown ^{2}\omega }$.

Завихреність пов'язана з функцією струменю через оператор Лапласа: ${\displaystyle \omega =\triangle \phi }$

Коли мова йде про векторне поле, що є полем швидкостей деякого середовища, ротор цього векторного поля в заданій точці дорівнює подвоєному вектору кутового обертання елемента середовища з центром в цій точці.

Візуалізація

Один зі способів візуалізувати завихреність — це уявити, що миттєво, крихітна частина континууму стає суцільною, а решта потоку зникає. Якщо ця маленька нова тверда частинка обертається, а не просто рухатися з потоком, то в потоці є завихрення. На рисунку нижче, ліва підгрупа не демонструє завихрення, а права — наявність завихрення.

Див. також

• Вихор
• Рівняння вихору
• Турбулентність