Задача Штурма — Ліувілля

Надалі введено позначення Задача Штурма-Ліувілля — ЗШЛ.
Розглянемо оператор ${\displaystyle Lu=-{\frac {d}{dx}}(p(x){\frac {du}{dx}})+q(x)u}$,
перепишемо його у вигляді: ${\displaystyle Lu=\lambda \rho (x)u,x\in (a,b)}$ та введемо додаткові умови ${\displaystyle \left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a)=0,\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)=0\right]}$.
Надалі будемо вважати, що ${\displaystyle p(x)\in {\mathit {C^{1}}}([a,b]),q(x),\rho (x)\in {\mathit {C}}([a,b]),}$ крім того, ${\displaystyle p(x)>0,\rho (x)>0,q(x)\geqslant 0,\quad A_{1},A_{2},B_{1},B_{2}=const,A_{1},A_{2}\geqslant 0,A_{1}+A_{2}>0,B_{1},B_{2}\geqslant 0,B_{1}+B_{2}>0}$

Формулювання ЗШЛ[1]

Знайти значення параметра ${\displaystyle \lambda }$ при яких існують нетривіальні розв'язки задачі ${\displaystyle Lu=\lambda \rho (x)u,x\in (a,b)}$, ${\displaystyle \left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a),\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)\right],}$ такі, що ${\displaystyle u(x)\in {\mathit {C^{2}}}((a,b))\cap {\mathit {C^{1}}}([a,b])}$ і знайти ці розв'язки.
Введемо область визначення оператора ${\displaystyle L}$:
${\displaystyle D_{L}={u\in {\mathit {C^{2}}}((a,b))\cap {\mathit {C^{1}}}([a,b])}}$, які задовольняють крайові умови
${\displaystyle \left[A_{1}u(a)-A_{2}u'(a)=0,\quad B_{1}u(b)+B_{2}u'(b)=0\right]}$, і такі, що ${\displaystyle u''\in L_{2}(a,b)}$.

Властивості оператора L {\displaystyle L} ЗШЛ[2]

1. Якщо довільні функції ${\displaystyle u,v}$ належать області ${\displaystyle D_{L}}$ , то має місце рівність:

${\displaystyle \int _{a}^{b}(vLu-uLv)\,dx=0}$.

1. Оператор ${\displaystyle L}$ ЗШЛ є самоспряженим, тобто ${\displaystyle \forall u,v\in D_{L}}$ виконується ${\displaystyle (Lu,v)=(u,Lv)}$.
2. Оператор ${\displaystyle L}$ ЗШЛ є додатньовизначеним: ${\displaystyle (Lu,u)\geqslant 0}$.

Власні значення та власні функції ЗШЛ[2]

Вказані вище значення параметра ${\displaystyle \lambda }$ називається власними значеннями ЗШЛ, а відповідні їм розв'язки — власними функціями цієї задачі.

Основні властивості власних значень і власних функцій ЗШЛ^[3]

1. Власні значення ЗШЛ утворюють зліченну множину.
2. Власні функції, які відповідають різним власним значенням, ортогональні між собою з вагою ${\displaystyle \rho (x)}$, тобто ${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (x)u_{1}(x)u_{2}(x)\,dx=0\,}$, де ${\displaystyle u_{1}(x),u_{2}(x)}$ — власні функції.
3. Власні значення ЗШЛ — дійсні та невід'ємні.
4. Власні значення ЗШЛ — прості, тобто одному власному значенню не може відповідати дві і більше лінійно незалежних власних функції.
5. Власні функції ЗШЛ можна вибрати дійсними.