Зачеплення (теорія вузлів)

Вкладення (частіше — його образ) незв'язної суми ${\displaystyle \mu }$ примірників кола в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ або ${\displaystyle S^{3}}$ називається зачепленням кратності ${\displaystyle \mu }$.

Кільця Борромео
Позначення= L6a4
Число ниток = 3
Довжина коси= 6
Число перетинів= 6
Гіперболічний об'єм= 7.327724753
Клас= гіперболічний

Зачеплення Гопфа, в якому кільця з'єднані стрічкою і є її краями.

Трилисник, зчеплений з колом.

Зачеплення кратності ${\displaystyle \mu =1}$ називається вузлом.

Вузли, складові даного зачеплення, називаються його компонентами.

Охоплювально-ізотопічні^[ru] класи зачеплень називаються типами зачеплень. Зачеплення одного типу називаються еквівалентними.

Зачеплення, що складається з деяких компонент зачеплення ${\displaystyle L}$, називається його частковим зачепленням.

Кажуть, що зачеплення розпадається (або розщеплюється), якщо два його часткових зачеплення розділені в ${\displaystyle S^{3}}$ двовимірною сферою.

Деякі типи зачеплень

• Зачеплення «${\displaystyle 0,\;0,\;\ldots ,\;0}$», що лежить у площині в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, називається тривіальним.
• Зачеплення називається брунновим, якщо розпадається кожне його часткове зачеплення, крім нього самого.
• Найбільш вивчені кусково-лінійні зачеплення. Розгляд гладких або локально плоских топологічних вкладень в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ приводить до теорії, що збігається з кусково-лінійною.
• Крім площини всяке зачеплення можна розташувати на стандартно вкладеній в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ замкненій поверхні. Наприклад, зачеплення можна розташувати на незавузленому торі або кренделі, тоді таке зачеплення буде називатися відповідно торичним, або крендельним.
• Зачеплення, що лежить на межі трубчастого околу вузла називається обмоткою вузла ${\displaystyle k}$. Зачеплення, яке можна отримати багаторазовим взяттям обмоток, починаючи з тривіального вузла, називається трубчастим, або складним кабельтовим.

Задання зачеплень

Зазвичай зачеплення задаються за допомогою так званих діаграм вузлів і зачеплень. Цей метод тісно пов'язаний з поняттям кіс. Якщо у косі з ${\displaystyle 2n}$ ниток з'єднати вгорі і внизу по ${\displaystyle n}$ пар сусідніх кінців відрізками, то вийде зачеплення, зване ${\displaystyle 2n}$-сплетінням.

Інший спосіб конструювання зачеплень з кіс полягає в замиканні кіс. Якщо між двома паралельними площинами ${\displaystyle \Pi _{1}}$ і ${\displaystyle \Pi _{2}}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ взяти ${\displaystyle 2m}$ ортогональних їм відрізків і з'єднати їхні кінці попарно ${\displaystyle m}$ дугами в ${\displaystyle \Pi _{1}}$ і ${\displaystyle m}$ дугами в ${\displaystyle \Pi _{2}}$ без перетинів, то сума всіх дуг і відрізків дасть зачеплення. Зачеплення, що допускає таке подання називається зачепленням з ${\displaystyle m}$ мостами.

Приклади зачеплень

Зачеплення Гопфа
Позначення= L2a1
Число ниток = 2
Довжина коси= 2
Число перетинів= 2
Коефіцієнт зачеплення= 1
Гіперболічний об'єм= 0
Клас= тор

• Зачеплення Гопфа — найпростіше нетривіальне зачеплення з двома і більше компонентами ^[1], складається з двох кіл, зачеплених одноразово^[2] і назване на честь Гайнца Гопфа.^[3]

Вузол Соломона
Число ниток = 4
Довжина коси= 8
Число перетинів= 4
Число розплутування =2
ab-нотація =4²₁
Гіперболічний об'єм= 0
альтернуючий

• Вузол Соломона, два кільця з подвійним зачепленням
• Кільця Борромео^[4] — це зачеплення, що складається з трьох топологічних кіл, які зчеплені і утворюють бруннове зачеплення (тобто видалення будь-якого кільця призведе до роз'єднання двох кілець). Іншими словами, ніякі два з трьох кілець не зчеплені як в зачепленні Гопфа, проте, всі разом вони зчеплені.