Збіжний ряд

Ряд — в математиці це сума членів нескінченної послідовності чисел. Тобто, нескінченна послідовність ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )}$ визначає ряд S:

${\displaystyle S=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots =\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}.}$

n-на часткова сума S_n — це сума перших n членів послідовності:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}.}$

Ряд є збіжним (або збігається) тоді й лише тоді, коли послідовність ${\displaystyle (S_{1},S_{2},S_{3},\dots )}$ часткових сум має границю; що означає, після деякого ${\displaystyle a_{k}}$ всі подальні часткові суми будуть все ближче до границі. Формально, ряд збігається тоді і лише тоді:

${\displaystyle \exists \ell$ :\forall (\varepsilon >0)\exists N\forall n>N:\left|S_{n}-\ell \right|<\varepsilon .}

Якщо ряд збігається, тоді (існує і єдине) число ${\displaystyle \ell }$ називається сумою ряду.

Приклади

...

Властивості

...

Ознаки збіжності

Докладніше: Ознаки збіжності

Див. також

• Абсолютна збіжність
• Умовна збіжність
• Рівномірна збіжність

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1000+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)
• Банах С. Диференціальне та інтегральне числення = Rachunek różniczkowy i całkowy. — 2-е. — М. : Наука, 1966. — 436 с.(рос.)