Зважене квазі-арифметичне середнє

Зважене квазі-арифметичне середнє для дійсних чисел ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}\!}$ з ваговими коєфіцієнтами ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}\!}$ визначається як

${\displaystyle M_{f,w_{1},\ldots ,w_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f^{-1}\left({\frac {w_{1}f(x_{1})+\ldots +w_{n}f(x_{n})}{w_{1}+w_{2}+\cdots +w_{n}}}\right)}$

де ${\displaystyle f\!}$ — неперервна строго монотонна функція, а ${\displaystyle f^{-1}\!}$ — обернена функція до ${\displaystyle f\!}$.

Часткові випадки

• При ${\displaystyle f(x)=x\!}$ — отримуємо середнє арифметичне зважене,
• При ${\displaystyle f(x)=\log x\!}$ — отримуємо середнє геометричне зважене,
• При ${\displaystyle f(x)=x^{-1}\!}$ — отримуємо середнє гармонійне зважене,
• При ${\displaystyle f(x)=x^{2}\!}$ — отримуємо середнє квадратичне зважене,
• При ${\displaystyle f(x)=x^{\alpha },\ \alpha \neq 0}$ — отримуємо середнє степеневе зважене.

Див. також

• Квазі-арифметичне середнє
• Середнє зважене
• Нерівність Єнсена

Джерела

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — ISBN 5-9221-0266-4.(рос.)