Зірка (теорія графів)

У теорії графів зірка S_k (англ. star) — це повний двочастковий граф K_1,k: дерево з єдиним внутрішнім вузлом і k листками (але при k ≤ 1 має k+1 листків і не має внутрішніх вузлів). Крім того, деякі автори визначають S_k як дерево порядку k з максимальною відстанню 2; в цьому випадку зірка k > 2 має k − 1 листок.

Зірка
ЗіркаS7. (Деякі автори позначають як S8.)
Вершин	k+1
Ребер	k
Діаметр	minimum of (2, k)
Обхват	∞
Хроматичне число	minimum of (2,k+1)
Хроматичний індекс	k
Spectral Gap	1
Властивості	Реберно-транзитивний граф Дерево Граф одиничних відстаней Двочастковий
Позначення	Sk

Зірка з 3-ма ребрами називається клешнею.

Зірка S_k називається реберно-граціозною^[en], коли k парне і не є такою, коли непарне. Вона є реберно-транзитивною сірниковому графу, і має відстань 2 (при k>1), обхват ∞ (не має циклів), хроматичний індекс k і хроматичне число 2 (при k> 0). Крім того, зірка має велику групу автоморфізмів, а саме симетричну групу з k букв.

Зірка також може бути описана, як зв'язний граф, в якому не більше однієї вершини, що має степінь більше одиниці.

Зв'язок з іншими типами графів

Клешні зустрічаються у визначенні графів без клешень, графів, які не мають підграфів з клешнями.^[1][2] Крім того, вони є одним з виняткових випадків теореми ізоморфізму графів Вітні: загалом, графи з ізоморфними реберними графами так само є ізоморфними, за винятком клешень і трикутника K₃.^[3]

Зірка є особливим видом дерева. Як і будь-яке дерево, зірки можуть бути закодовані за допомогою коду Прюфера; послідовність Прюфера для зірки K_1,k складається з k-1 копії центральної вершини.^[4]

Декілька інваріантів графів визначені в термінах зірок. Арборичність — це мінімальна кількість лісів, які може утворити граф таким чином, що кожне дерево в кожному лісі є зіркою,^[5] хроматичним числом зірки^[en] називається мінімальне число кольорів, необхідних для фарбування його вершин таким чином, щоб кожні два класи кольорів разом утворювали підграф, у якому всі з'єднані компоненти є зірками.^[6] Графи з шириною гілок 1 є саме такими графами, де кожна з'єднана компонента є зіркою.^[7]

Зірки S₃, S₄, S₅ та S₆.

Інші застосування

Множина відстаней між вершинами клешні є прикладом кінцевого метричного простору, який не можна ізометрично вкласти в евклідів простір будь-якої розмірності.^[8]

Топологія «Зірка», комп'ютерна мережа змодельована на основі графа-зірки, відіграє важливу роль у розподілених обчисленнях.

Геометрична реалізація графа-зірки формується шляхом визначення ребер з інтервалами деякої фіксованої довжини, використовується як локальна модель кривих у тропічній геометрії. Тропічна крива визначається як метричний простір, що локально ізоморфний як метричний граф зірчастої форми.

Матричне представлення

За певної нумерації матричне подання графа-зірки може мати форму стріли. Зауважте, як просте перенумерування вершин графа може вплинути на швидкодію алгоритмів. У випадку методу Гауса використання матриці із заповненим верхнім рядком призведе до згубного для швидкодії алгоритму заповнення нульових комірок.

Єдиний внутрішній вузол — перша вершина	Єдиний внутрішній вузол — остання вершина