Тропічна геометрія

Тропічна геометрія — область в математиці, що з'явилася в 2000-ні, початково виникла в інформатиці, і пов'язана з алгебричною та симплектичною геометрією. Досліджувані в ній об'єкти є границею образів амеб звичайних алгебричних многовидів при виродженні останніх.^[1]

Тропічна пряма на площині

Назва «тропічна» віддає честь бразильській школі^[1] — піонерським роботам бразильського математика Імре Сімона^{[en][2][3][4]}, який досліджував тропічне напівкільце у зв'язку з питаннями інформатики та теорії оптимізації^[5].

Основні поняття

• Тропічне напівкільце (або тропічне напівполе) — множина дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, оснащене операціями тропічного додавання ${\displaystyle \oplus }$ і тропічного множення ${\displaystyle \odot }$

${\displaystyle x\oplus y=\max(x,y),\quad x\odot y=x+y.}$

• Тропічний многочлен ступеня ${\displaystyle d}$ на площині — кусково-афінна функція виду

${\displaystyle f(x,y)=\bigoplus _{i+j\leq d}\,a_{i,j}\odot x^{\odot i}\odot y^{\odot j}=\max _{i+j\leq d}(ix+jy+a_{i,j}).}$

Аналогічно, тропічний многочлен в загальному випадку — кусково-афінна функція виду

${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\bigoplus _{|J|\leq d}\,a_{J}\odot x^{\odot J}=\max _{|J|\leq d}\,(a_{J}+\sum _{i}J_{i}x_{i}).}$

• Тропічна крива на площині, що відповідає даному тропічному многочлену ${\displaystyle f}$ ступеня ${\displaystyle d}$ — граф на площині, вершини і ребра (скінченні і нескінченні) якого утворюють множину точок негладкості функції ${\displaystyle f}$. Ребра цього графу вважаються оснащеними кратностями: ребро, що розділяє області лінійності, які відповідають набору ступенів ${\displaystyle (i,j)}$ і ${\displaystyle (i',j')}$, оснащується кратністю, рівною найбільшому спільному дільнику різниць ${\displaystyle i-i'}$ і ${\displaystyle j-j'}$.
• Зокрема, тропічна пряма є об'єднанням трьох променів, що виходять з деякої точки ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ і спрямовані вниз, вліво і вправо-вгору під 45 градусів. Тропічні прямі мають властивості, аналогічні властивостям звичайних прямих: через будь-які дві точки загального положення проходить рівно одна тропічна пряма, і дві тропічні прямі загального положення перетинаються в єдиній точці.