Покажемо що результатом повороту вектора
на кут
відносно осі
(одиничний вектор) буде:
, де
— чисто векторний кватерніон,
— чисто векторний кватерніон,

Перепишемо останній кватерніон в іншій формі:


Спершу обчислимо необхідний нам вираз (використали властивість подвійного векторного добутку):

Обчислимо добуток:


де
та
компоненти вектора
паралельні і перпендикулярні до
відповідно:



Кожен з трьох доданків є ортогональним до двох інших.