Рухоме середнє

Ковзне середнє або рухоме середнє (процес ковзного (рухомого) середнього; англ. moving average) — один із інструментів аналізу випадкових процесів та часових рядів, що полягає в обчисленні середнього підмножини значень. Ковзне середнє не є скаляром, а є випадковим процесом. Розмір підмножини, від якої обчислюється середнє значення може бути як сталим, так і змінним. Ковзне середнє може мати вагові коефіцієнти, наприклад, для посилення впливу новіших даних у порівнянні зі старішими.

Приклад двох кривих рухомого середнього

Ковзне середнє може обчислюватись від довільних даних, однак, найчастіше його використовують в аналізі часових рядів для згладжування раптових коливань та підкреслення довготермінових трендів або циклів. З математичної точки зору, ковзне середнє є різновидом згортки та схоже на фільтр низьких частот в обробці сигналів.

Просте рухоме середнє

Нехай ${\displaystyle \{x_{t}\}}$ — часовий ряд, рухоме середнє ${\displaystyle \{y_{t}\}}$ обчислюється як результат лінійного перетворення:

${\displaystyle y_{t}=\sum _{r=-q}^{+s}a_{r}x_{t+r},}$

де сума ваг ${\displaystyle a_{r}}$дорівнює 1 (${\displaystyle \Sigma a_{r}=1}$).^[1]

Приклади

Прикладом простого симетричного згладжуючого фільтру є просте ковзне середнє, для якого ${\displaystyle a_{r}=1/(2q+1)}$ для ${\displaystyle r=-q,\dots ,+q}$ а згладжене значення ${\displaystyle x_{t}}$ обчислюється як:

${\displaystyle KC(x_{t})={\frac {1}{2q+1}}\sum _{r=-q}^{+q}x_{t+r}.}$

Взагалі кажучи, просте ковзне середнє може бути не найкращим варіантом для обчислення трендів.

Іншим прикладом ковзного середнього є випадок, коли ${\displaystyle \{a_{r}\}}$ є членами розкриття ${\displaystyle (1/2+1/2)^{2q}}$. Тобто, при ${\displaystyle q=1}$, ваги ${\displaystyle a_{-1}=a_{1}={\frac {1}{4}}}$, ${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{2}}}$.

Процес рухомого середнього

Нехай ${\displaystyle \{Z_{t}\}}$ — повністю випадковий процес з нульовим середнім та дисперсією ${\displaystyle \sigma _{Z}^{2}}$. Процес ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ називається процесом рухомого середнього порядку ${\displaystyle q}$, якщо:^[2]

${\displaystyle X_{t}=\beta _{0}Z_{t}+\beta _{1}Z_{t-1}+\beta _{2}Z_{t-2}+\dots +\beta _{q}Z_{t-q},}$

де ${\displaystyle \{\beta _{i}\}}$ — константи.

Властивості

Див. також

• Портал «Математика»

• Експоненційне згладжування
• Авторегресійне ковзне середнє (скорочено АРКС, англ. ARMA)