Когомологічна розмірність

В абстрактній алгебрі когомологічна розмірність є інваріантом групи, який вимірює гомологічну складність її представлень. Вона має важливі застосування в геометричній теорії груп, топології та алгебраїчній теорії чисел .

Групова когомологічна розмірність

Як і більшість когомологічних інваріантів, когомологічна розмірність включає вибір «кільця коефіцієнтів» R, де зазвичай в якості кільця розглядається кільце цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. Нехай G — дискретна група, R — ненульове кільце з одиницею, і ${\displaystyle RG}$ — групове кільце . Група G має когомологічну розмірність, не більшу за n, що позначається як ${\displaystyle \operatorname {cd} _{R}(G)\leq n}$, якщо тривіальний ${\displaystyle RG}$ -модуль R має проективну резольвенту довжини n, тобто існують проєктивні ${\displaystyle RG}$ -модулі ${\displaystyle P_{0},\dots ,P_{n}}$ і гомоморфізми ${\displaystyle RG}$ -модулів ${\displaystyle d_{k}\colon P_{k}\to P_{k-1}(k=1,\dots ,n)}$ і ${\displaystyle d_{0}\colon P_{0}\to R}$, такі що образ ${\displaystyle d_{k}}$ збігається з ядром ${\displaystyle d_{k-1}}$ для ${\displaystyle k=1,\dots ,n}$ і ядро ${\displaystyle d_{n}}$ є тривіальним.

Еквівалентно, когомологічна розмірність є не більшою за n, якщо для довільного ${\displaystyle RG}$ -модуля M, когомології групи G з коефіцієнтами в M дорівнюють нулю для степенів ${\displaystyle k>n}$, тобто ${\displaystyle H^{k}(G,M)=0}$ за умови ${\displaystyle k>n}$ . p -когомологічна розмірність для простого числа p аналогічно визначається через p -кручення груп ${\displaystyle H^{k}(G,M){p}}$ .

Найменше n, для якого когомологічна розмірність G не перевищує n, є когомологічною розмірністю G (з коефіцієнтами R ), яка позначається ${\displaystyle n=\operatorname {cd} _{R}(G)}$ .

Вільна резольвента для ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ може бути отримана з вільної дії групи G на стягуваному топологічному просторі X . Зокрема, якщо X є стягуваним CW-комплексом розмірності n з вільною дією дискретної групи G, яка переставляє клітини, то ${\displaystyle \operatorname {cd} _{\mathbb {Z} }(G)\leq n}$ .

Приклади

У першій групі прикладів кільце коефіцієнтів R є ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ .

• Вільна група має когомологічну розмірність один. Як показали Джон Столлінгс (для скінченно породжених груп) і Річард Свон (у загальному випадку), ця властивість характеризує вільні групи. Цей результат відомий як теорема Столлінгса–Свона. ^[1] Теорема Столлінгса-Свона для групи G стверджує, що G є вільною тоді і тільки тоді, коли кожне розширення G з абелевим ядром розщеплюється. ^[2]
• Фундаментальна група компактної, зв’язної, орієнтованої ріманової поверхні, відмінної від сфери, має когомологічну розмірність два.
• Більш загально, фундаментальна група замкненого, зв’язного, орієнтованого асферичного многовиду розмірності n має когомологічну розмірність n . Зокрема, фундаментальна група замкненого орієнтованого гіперболічного n -многовиду має когомологічну розмірність n .
• Нетривіальні скінченні групи мають нескінченну когомологічну розмірність над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Більш загально, те ж саме справедливо для груп з нетривіальним крученням .

Тепер розглянемо випадок кільця R .

• Група G має когомологічну розмірність 0 тоді і тільки тоді, коли її групове кільце ${\displaystyle RG}$ є напівпростим . Таким чином, скінченна група має когомологічну розмірність 0 тоді і тільки тоді, коли її порядок (або, еквівалентно, порядки її елементів) є оборотним в R .
• Узагальнюючи теорему Столлінгса–Свона для ${\displaystyle R=\mathbb {Z} }$, Мартін Данвуді довів, що група має когомологічну розмірність не більше одиниці над довільним кільцем R тоді і тільки тоді, коли вона є фундаментальною групою зв’язного графа скінченних груп, порядки яких є оборотними в R .

Когомологічна розмірність поля

p -когомологічна розмірність поля K є p -когомологічною розмірністю групи Галуа сепарабельного замикання K . Когомологічна розмірність K є супремумом p -когомологічної розмірності для всіх простих чисел p .

Приклади

• Кожне поле ненульової характеристики p має p -когомологічну розмірність не більше 1.
• Кожне скінченне поле має абсолютну групу Галуа, ізоморфну ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ і тому має когомологічну розмірність 1.
• Поле формальних рядів Лорана ${\displaystyle k((t))}$ над алгебрично замкненим полем k характеристики нуль також має абсолютну групу Галуа, ізоморфну ${\displaystyle {\hat {\mathbb {Z} }}}$ і, таким чином, має когомологічну розмірність 1. ^[3]

Дивіться також

• Групові когомології
• Глобальний вимір