Композиція функцій

Компози́ція (суперпозиція) фу́нкцій (відображень) в математиці — функція, побудована з двох функцій так, що значення першої функції є аргументом другої.

Композиція функцій g o f.

Композиція функцій ${\displaystyle f}$: ${\displaystyle X\to Y}$ та ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle Y\to Z}$ будується так: аргумент ${\displaystyle x}$ з ${\displaystyle X}$ застосовується до першої функції ${\displaystyle f}$, а її значення ${\displaystyle y}$ з ${\displaystyle Y}$ застосовується як аргумент до другої функції g.

Приклади

• Наприклад, нехай функція висоти польоту літака від часу ${\displaystyle t}$ задається як ${\displaystyle h(t)}$, і концентрація кисню на висоті ${\displaystyle h}$ задається функцією ${\displaystyle c(h)}$. Тоді ${\displaystyle (c\circ h)(t)}$ визначає концентрацію кисню біля літака в момент часу ${\displaystyle t}$.

• Нехай ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ і ${\displaystyle g(f)=\sin(f)}$, тоді ${\displaystyle (g\circ f)(x)=\sin(x^{2})}$.

Така композиція позначається в математиці як ${\displaystyle g\circ f}$: X → Z або ${\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))}$.

Композиція ${\displaystyle (f\circ g)=(\sin x)^{2}}$. Отже, взагалі ${\displaystyle (f\circ g)\neq (g\circ f)}$, тому операція композиції не є комутативною.

Властивості

Композиція функцій g o f

Композиція функцій є асоціативною, тобто, ${\displaystyle f\circ (g\circ h)=(f\circ g)\circ h}$

Композиція функцій називається комутативною, якщо ${\displaystyle f\circ g=g\circ f}$

Якщо ${\displaystyle Y\subset X}$, то можна ввести поняття власної композиції функції ${\displaystyle f}$, тобто:

• ${\displaystyle (f\circ f)(x)=f(f(x))=f^{2}(x)}$
• ${\displaystyle (f\circ f\circ f)(x)=f(f(f(x)))=f^{3}(x)}$
• ${\displaystyle f\circ f^{n}=f^{n}\circ f=f^{n+1}}$

Функція ${\displaystyle f^{n}}$ також називається степенем функції ${\displaystyle f}$.

Див. також

• Тотожне відображення
• Обернена функція
• Ітерація функції
• Похідна композиції функцій

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 550+ с.(укр.)