Ознака збіжності Коші

Ознака збіжності Коші (критерій Коші) — ознака збіжності числових рядів:

Ряд ${\displaystyle \sum a_{k}}$ збігається тоді і тільки тоді, коли

${\displaystyle \forall \,\epsilon >0,\exists \,\nu _{\epsilon },\forall n,\forall p,}$

${\displaystyle n\geqslant \,\nu _{\epsilon }\rightarrow \left|\sum _{k=1}^{p}{a_{n+k}}\right|\leqslant \epsilon .(1)}$

Доведення

Послідовність ${\displaystyle (s_{n})}$ часткових сум ряду ${\displaystyle \sum a_{k}}$ збігається тоді і тільки тоді коли вона є фундаментальною, тобто

${\displaystyle \forall \,\epsilon >0,\exists \,\nu _{\epsilon },\forall n,\forall p,}$

${\displaystyle n\geqslant \,\nu _{\epsilon }\Rightarrow \left|s_{n+p}-s_{n}\right|\leqslant \epsilon ,}$

що є рівним умові ${\displaystyle (1),}$ так як ${\displaystyle s_{n+p}-s_{n}=a_{n+1}+...+a_{n+p}.}$

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1000+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)