Кусково-задана функція

Кусково-задана функція — функція, визначена на множині дійсних чисел, задана на кожному з інтервалів, що складають область визначення, окремою формулою.

Формальне визначення і завдання

Нехай задані ${\displaystyle x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}}$ — точки зміни формул. Кусково-задані функції, задають на кожному з інтервалів ${\displaystyle {\bigl (}-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2}),\dots ,(x_{n};+\infty )}$ окремо^[1]. Записують це у вигляді:

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\ x<x_{1}\\f_{1}(x),\ x_{1}<x<x_{2}\\...\\f_{n}(x),\ x_{n}<x\end{cases}}}$

Види кусково-заданих функцій

Якщо всі функції — сталі, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусково-стала функція^[en].

Якщо всі функції ${\displaystyle f_{i}(x)}$ є лінійними функціями, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусково-лінійна функція.

Якщо всі функції ${\displaystyle f_{i}(x)}$ є неперервними функціями, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусково-неперервна функція. При цьому вона може не бути неперервною (в цілому).

Якщо всі функції ${\displaystyle f_{i}(x)}$ є диференційовними функціями, то${\displaystyle f(x)}$ — кусково-гладка функція. При цьому точки зміни формул можуть бути (а можуть і не бути) точками зламу.

Якщо всі функції ${\displaystyle f_{i}(x)}$ є монотонними функціями, то ${\displaystyle f(x)}$ — кусково-монотонна функція. При цьому на сусідніх інтервалах монотонність може бути різною.

Див. також

• Сплайн

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• Ляшко І.І., Ємельянов В.Ф., Боярчук О.К. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Вища школа, 1992. — 496 с. — ISBN 5-11-003757-4.(укр.)
• Ляшко І. І., Боярчук О. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Математичний аналіз в прикладах і задачах. — 2025. — 1200+ с.(укр.)
• Дороговцев А. Я. Математичний аналіз. Частина 1. — К. : Либідь, 1993. — 320 с. — ISBN 5-325-00380-1.(укр.)